단항식의 최대공약수(GCF)

단계별 튜토리얼, 풀이된 예제 및 상세 해설

대수학에서 두 개 이상의 단항식의 최대공약수(GCF)는 모든 단항식을 나누어떨어지게 하는 가장 큰 단항식입니다. 이는 다항식을 인수분해하고 유리식을 간소화하는 데 필수적인 기술입니다.

소인수분해법

GCF를 구하기 위해 소인수분해를 사용하여 각 단항식을 구성 요소(계수와 변수)로 분해합니다.

  1. 각 수치 계수의 소인수분해를 작성합니다.
  2. 집합에서 가장 낮은 지수로 나타나는 변수를 나열합니다.
  3. 공통 수치 인수와 변수 인수를 함께 곱합니다.

예제 풀이

예제 1: 두 개의 단항식

\( 12x \)와 \( 18x^2 \)의 GCF를 구하세요.

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1. \( 12x \)의 소인수분해:
\[ 12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \]

2. \( 18x^2 \)의 소인수분해:
\[ 18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

3. 공통 인수 식별: \( 2, 3 \text{ 및 } x \).

\[ \text{GCF}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x} \]

예제 2: 여러 개의 변수

\( 30x^2y^3 \), \( 42x^3y^2 \), \( 18x^2y^2 \)의 GCF를 구하세요.

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소인수분해:

  • \( 30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \)
  • \( 42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \)
  • \( 18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \)

GCF는 공통 인수의 곱입니다:

\[ \text{GCF} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2} \]

상세 해설이 포함된 연습 문제

다음 문제를 풀기 위해 소인수분해법을 적용하세요.

질문 1: \( 36x^2 \)와 \( 42x^3 \)의 GCF를 구하세요.

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\[ 36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \]

GCF: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2} \)

질문 2: \( 45x^3 \), \( 60x^2 \), \( 75x^4 \)의 GCF를 구하세요.

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\[ 45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \] \[ 60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \]

GCF: \( 3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2} \)

질문 3: \( 50x^2y^3 \), \( 75x^2y^2 \), \( 125x^4y^3 \)의 GCF를 구하세요.

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\[ 50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \] \[ 75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \] \[ 125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \]

GCF: \( 5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2} \)

질문 4: GCF를 사용하여 다음 유리식을 간소화하세요: \[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} \]

풀이 보기

먼저 분자와 분모의 소인수분해를 구합니다:

\[ 35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x \] \[ 42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y \]

공통 GCF 인수 \( (7x^2y^2) \) 약분:

\[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} = \dfrac{5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y} = \dfrac{5x}{6y} \]

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