단항식의 연산: 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 - 9학년 수학

1. 단항식의 계수 이해하기

\(-2\)와 같은 수와 \(x^2\)과 같은 지수가 있는 변수를 취하여 서로 곱합니다: \(-2 \times x^2\). 간단히 하기 위해 곱셈 기호를 생략하고 단항식으로 씁니다: \(-2x^2\).

표준적인 단항식의 예로는 \( x \), \( 2x \), \( 3x^2 \), \( -0.1x \), \( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \), \( -y \) 등이 있습니다.

정의: 계수

단항식의 계수는 항의 맨 앞에 위치한 수치 부분입니다.

예제 1: 계수 식별하기

\( \color{red}{2}x \)의 계수는 \(2\)입니다.
\( \color{red}{-3}x^2 \)의 계수는 \(-3\)입니다.
\( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \)의 계수는 \(-\dfrac{5}{2}\)입니다.
\( x \)의 계수(\( \color{red}{1}x \))는 \(1\)입니다. 참고: \(1x\)가 아니라 \(x\)로 씁니다.
\( -x^2 \)의 계수(\( \color{red}{-1}x^2 \))는 \(-1\)입니다. 참고: \(-1x^2\)이 아니라 \(-x^2\)으로 씁니다.

2. 단항식의 덧셈과 뺄셈

우리는 동류항(정확히 같은 변수들이 정확히 같은 거듭제곱으로 이루어진 항)인 단항식만 더하고 뺄 수 있습니다.

\( -3x^2 \), \( 4x^2 \), \( -x^2 \)은 동류항이므로 더할 수 있습니다.
\( -y^2x \), \( 4y^2x \), \( -xy^2 \)은 동류항이므로 더할 수 있습니다. (참고: \(xy^2\)와 \(y^2x\)는 동일합니다).

예제 2: 덧셈과 뺄셈

a) \( 2x + 4x \)

\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{(변수 } x\text{를 묶어내기)} \\ &= 6x \quad && \text{(계수 더하기)} \end{aligned} \]

b) \( 3x^2 - x^2 \)

\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{(변수 } x^2\text{를 묶어내기)} \\ &= 2x^2 \quad && \text{(계수 빼기)} \end{aligned} \]

c) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)

\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{(계수들 묶기)} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]

3. 단항식의 곱셈

지수의 곱셈법칙

어떤 두 단항식이든 곱할 수 있으며, 동류항일 필요는 없습니다. 지수의 곱셈법칙을 사용합니다:

\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)

예제 3: 곱셈

a) \( (x)(6x) \)

\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{(계수와 변수를 각각 묶기)} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{(지수 법칙 적용)} \end{aligned} \]

b) \( (5x^2y)(-y^2x) \)

\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]

4. 단항식의 나눗셈

지수의 나눗셈법칙

나누는 식이 0이 아닌 한, 어떤 두 단항식이든 나눌 수 있습니다. 지수의 나눗셈법칙을 사용합니다:

\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)

예제 4: 나눗셈

a) \( \dfrac{-x^2}{x} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]

b) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]

연습 문제

실력을 테스트해 보세요. 아래 문제를 직접 풀어본 후, "단계별 해답 보기"를 클릭하여 정답을 확인하세요.

다음 각 단항식의 계수를 구하시오:
1. \( x^2 \)
2. \( -2y \)
3. \( 3xy \)
4. \( -yx^2 \)
5. \( yx^3 \)
6. \( -\dfrac{4}{7}y \)
7. \( 0.01x^3y \)
8. \( -\dfrac{xy^3}{4} \)
단계별 해답 보기
1. \( x^2 = 1 \cdot x^2 \) → 계수 = 1
2. \( -2y = -2 \cdot y \) → 계수 = -2
3. \( 3xy = 3 \cdot xy \) → 계수 = 3
4. \( -yx^2 = -1 \cdot yx^2 \) → 계수 = -1
5. \( yx^3 = 1 \cdot yx^3 \) → 계수 = 1
6. \( -\dfrac{4}{7}y = -\dfrac{4}{7} \cdot y \) → 계수 = \(-\dfrac{4}{7}\)
7. \( 0.01x^3y = 0.01 \cdot x^3y \) → 계수 = 0.01
8. \( -\dfrac{xy^3}{4} = -\dfrac{1}{4} \cdot xy^3 \) → 계수 = \(-\dfrac{1}{4}\)
다음 단항식을 더하고 빼시오:
1. \( 2x - 4x + 8x \)
2. \( -x^2 - 7x^2 \)
3. \( 3xy - xy + 3yx \)
4. \( x^2y^2 - y^2x^2 \)
5. \( x - \dfrac{1}{3}x \)
단계별 해답 보기
1. \( (2 - 4 + 8)x = \mathbf{6x} \)
2. \( (-1 - 7)x^2 = \mathbf{-8x^2} \)
3. \( (3 - 1 + 3)xy = \mathbf{5xy} \) (참고: \(xy = yx\))
4. \( (1 - 1)x^2y^2 = 0x^2y^2 = \mathbf{0} \) (참고: \(x^2y^2 = y^2x^2\))
5. \( \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)x = \left(\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}\right)x = \mathbf{\dfrac{2}{3}x} \)
다음 단항식을 곱하시오:
1. \( (-x^2)(-2x) \)
2. \( (-x^2y)(-y^2x^2) \)
3. \( \left(-\dfrac{1}{2}x^2\right)(-2x^2) \)
4. \( (4xy)\left(-\dfrac{3}{4}y^2z\right) \)
5. \( (-2)\left(-\dfrac{3}{2}x^2y\right) \)
단계별 해답 보기
1. \( (-1 \cdot -2)(x^2 \cdot x) = \mathbf{2x^3} \)
2. \( (-1 \cdot -1)(x^2 \cdot x^2)(y \cdot y^2) = 1 \cdot x^4 \cdot y^3 = \mathbf{x^4y^3} \)
3. \( \left(-\dfrac{1}{2} \cdot -2\right)(x^2 \cdot x^2) = (1)x^4 = \mathbf{x^4} \)
4. \( \left(4 \cdot -\dfrac{3}{4}\right)(x)(y \cdot y^2)(z) = \mathbf{-3xy^3z} \)
5. \( \left(-2 \cdot -\dfrac{3}{2}\right)(x^2y) = \mathbf{3x^2y} \)
다음 단항식을 나누시오:
1. \( \dfrac{x^3}{-x^2} \)
2. \( \dfrac{-3x^4}{-x^2} \)
3. \( \dfrac{-5x^3y^3}{15x^2y^2} \)
4. \( \dfrac{-16x^2y^2z^3}{8x^2y} \)
5. \( \dfrac{-20xy^2}{-5} \)
단계별 해답 보기
1. \( \dfrac{1x^3}{-1x^2} = \left(\dfrac{1}{-1}\right)x^{3-2} = (-1)x^1 = \mathbf{-x} \)
2. \( \dfrac{-3x^4}{-1x^2} = \left(\dfrac{-3}{-1}\right)x^{4-2} = \mathbf{3x^2} \)
3. \( \left(\dfrac{-5}{15}\right)\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^3}{y^2}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{3}xy} \)
4. \( \left(\dfrac{-16}{8}\right)\left(\dfrac{x^2}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^2}{y}\right)(z^3) = -2(1)(y)(z^3) = \mathbf{-2yz^3} \)
5. \( \left(\dfrac{-20}{-5}\right)xy^2 = \mathbf{4xy^2} \)
간소화하고 가능한 경우 하나의 단항식으로 나타내시오:
1. \( 9x^2y \cdot \dfrac{y^2}{3x^2} \)
2. \( x^2y \cdot \dfrac{3x}{x^2} \)
3. \( \dfrac{y}{3x^2} \cdot x^3 \)
4. \( \dfrac{x^3}{2y^2} \cdot \dfrac{2xy^3}{x^2} \)
단계별 해답 보기
1. \( \dfrac{9x^2y \cdot y^2}{3x^2} = \dfrac{9x^2y^3}{3x^2} = \left(\dfrac{9}{3}\right)\left(\dfrac{x^2}{x^2}\right)(y^3) = \mathbf{3y^3} \)
2. \( \dfrac{x^2y \cdot 3x}{x^2} = \dfrac{3x^3y}{x^2} = 3\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)y = \mathbf{3xy} \)
3. \( \dfrac{y \cdot x^3}{3x^2} = \dfrac{x^3y}{3x^2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)y = \mathbf{\dfrac{1}{3}xy} \)
4. \( \dfrac{x^3 \cdot 2xy^3}{2y^2 \cdot x^2} = \dfrac{2x^4y^3}{2x^2y^2} = \left(\dfrac{2}{2}\right)\left(\dfrac{x^4}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^3}{y^2}\right) = \mathbf{x^2y} \)

단항식의 연산: 예제 및 연습 문제