지수방정식 풀기

27, 9, 3은 다음과 같이 3의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다:

$$ 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2, \quad \text{및} \quad 3 = 3^1 $$

음의 지수 공식 $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$과 위 식을 사용하여 주어진 방정식을 다시 씁니다:

$$ (3^3)^{2x} \cdot (3^{-2})^{x - 2} = (3^2)^{-x} \cdot (3^{-1})^{2 - x} $$

이제 공식 $(x^m)^n = x^{mn}$을 사용합니다:

$$ 3^{6x} \cdot 3^{-2x + 4} = 3^{-2x} \cdot 3^{-2 + x} $$

공식 $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$을 사용하여 양변의 지수를 결합합니다:

$$ 3^{6x - 2x + 4} = 3^{-2x - 2 + x} $$

지수를 단순화하여 다음을 얻습니다:

$$ 3^{4x + 4} = 3^{-x - 2} $$

지수함수가 일대일 함수라는 사실을 이용합니다. $3^m = 3^n$이면 $m = n$입니다. 지수를 서로 같게 놓을 수 있습니다:

$$ 4x + 4 = -x - 2 $$

위 방정식을 $x$에 대해 풉니다:

$$ 5x = -6 \implies x = \dfrac{-6}{5} = -1.2 $$

아래 그림은 우변을 0으로 만들었을 때 주어진 방정식의 좌변 그래프를 보여줍니다. $x$절편은 대수적 해의 근사값입니다.

$\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$임을 유의하고 이를 사용하여 주어진 방정식을 다시 씁니다:

$$ 16^{(1/2)x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} $$

$\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$이고 $16 = 2^4$임을 유의하세요. 이를 사용하여 밑을 2로 하여 방정식을 다시 씁니다:

$$ (2^4)^{(1/2)x} = (2^{-1})^{x^2 - 1} $$

공식 $(x^m)^n = x^{mn}$을 사용하여 단순화합니다:

$$ 2^{2x} = 2^{-x^2 + 1} $$

밑이 동일하므로 지수를 서로 같게 놓을 수 있습니다:

$$ 2x = -x^2 + 1 $$

표준 이차식 형태로 다시 쓰고 풉니다:

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

근의 공식을 사용하면 $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$입니다. 이는 두 개의 해를 산출합니다:

$$ x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41 \quad \text{및} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41 $$

$u = 2^x$로 놓습니다. 이는 $2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} = \dfrac{1}{u}$를 의미합니다. $u$에 대한 식으로 방정식을 다시 씁니다:

$$ u - \dfrac{6}{u} = 6 $$

$u$는 0이 될 수 없습니다($2^x > 0$이므로). 모든 항에 $u$를 곱하고 단순화합니다:

$$ u \left( u - \dfrac{6}{u} \right) = 6u $$ $$ u^2 - 6 = 6u $$ $$ u^2 - 6u - 6 = 0 $$

근의 공식을 사용하여 $u$에 대한 이차방정식을 풉니다:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{15} \quad \text{및} \quad u_2 = 3 - \sqrt{15} $$

이제 치환 $u = 2^x$를 사용하여 $x$를 풉니다.

첫 번째 방정식: $2^x = 3 + \sqrt{15}$

$$ \ln(2^x) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x \ln(2) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x = \dfrac{\ln(3 + \sqrt{15})}{\ln 2} \approx 2.78 $$

두 번째 방정식: $2^x = 3 - \sqrt{15}$. $3 - \sqrt{15}$는 음수이고 $2^x$는 엄격하게 양수여야 하므로 해가 없습니다.

주어진 방정식의 양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다:

$$ \ln(5^{x + 1}) = \ln(100 \cdot 3^x) $$

로그 법칙을 사용하여 단순화하고 지수를 앞으로 내립니다:

$$ (x + 1) \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$

좌변을 전개하고 $x$를 포함하는 모든 항을 한쪽으로 모읍니다:

$$ x \ln 5 + \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 3 = \ln 100 - \ln 5 $$

$x$를 묶어내고 풉니다:

$$ x (\ln 5 - \ln 3) = \ln 100 - \ln 5 $$ $$ x = \dfrac{\ln 100 - \ln 5}{\ln 5 - \ln 3} \approx 5.86 $$

$u = e^x$로 놓으면 $e^{-x} = \dfrac{1}{u}$가 됩니다. 이를 방정식에 대입합니다:

$$ \dfrac{u - \dfrac{1}{u}}{2} = 3 $$

양변에 2를 곱하고 단순화합니다:

$$ u - \dfrac{1}{u} = 6 $$

분수를 없애기 위해 전체 방정식에 $u$를 곱합니다:

$$ u^2 - 1 = 6u \implies u^2 - 6u - 1 = 0 $$

근의 공식을 사용하여 $u$를 풉니다:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{10} \quad \text{및} \quad u_2 = 3 - \sqrt{10} $$

이제 $u = e^x$를 다시 대입합니다.

첫 번째 방정식: $e^x = 3 + \sqrt{10}$

$$ \ln(e^x) = \ln(3 + \sqrt{10}) \implies x = \ln(3 + \sqrt{10}) \approx 1.82 $$

두 번째 방정식: $e^x = 3 - \sqrt{10}$. $3 - \sqrt{10} < 0$이므로 해가 없습니다.

양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다:

$$ \ln(3^{2 - 3x}) = \ln(4^{2x + 1}) $$

로그 법칙을 사용하여 지수를 앞으로 가져옵니다:

$$ (2 - 3x)\ln 3 = (2x + 1)\ln 4 $$

방정식의 양변을 전개하고 $x$가 있는 항들을 모읍니다:

$$ 2\ln 3 - 3x\ln 3 = 2x\ln 4 + \ln 4 $$ $$ 2\ln 3 - \ln 4 = 3x\ln 3 + 2x\ln 4 $$ $$ x(3\ln 3 + 2\ln 4) = 2\ln 3 - \ln 4 $$ $$ x = \dfrac{2\ln 3 - \ln 4}{3\ln 3 + 2\ln 4} \approx 0.13 $$

$9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$임을 유의하세요. 이를 사용하여 주어진 방정식을 다시 쓰고 $3^{x+1}$을 $3 \cdot 3^x$로 전개합니다:

$$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 2 = 0 $$

$u = 3^x$로 놓고 방정식을 $u$에 대한 표준 이차방정식으로 다시 씁니다:

$$ u^2 - 3u + 2 = 0 $$

인수분해하여 $u$를 풉니다:

$$ (u - 2)(u - 1) = 0 $$

이것은 $u$에 대한 두 가지 해 $u_1 = 2$와 $u_2 = 1$을 줍니다. 이제 $3^x$를 다시 대입합니다.

첫 번째 방정식: $3^x = 2$

$$ \ln(3^x) = \ln 2 \implies x \ln 3 = \ln 2 \implies x = \dfrac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.63 $$

두 번째 방정식: $3^x = 1$. 1을 만드는 유일한 지수는 0이므로 $x = 0$입니다.

1. 밑 표준화하기:
$4^x$를 $(2^2)^x = (2^x)^2$로 표현합니다. 지수 법칙을 사용하여 $2^{x+2}$를 전개합니다: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.

$$ (2^x)^2 - 4(2^x) - 32 = 0 $$

2. 치환하기:
$u = 2^x$로 놓습니다. 방정식은 간단한 이차방정식이 됩니다:

$$ u^2 - 4u - 32 = 0 $$

3. 인수분해하고 $u$ 구하기:
곱해서 $-32$가 되고 더해서 $-4$가 되는 두 숫자가 필요합니다. 그것들은 $-8$과 $+4$입니다.

$$ (u - 8)(u + 4) = 0 $$

이것은 $u = 8$ 또는 $u = -4$를 줍니다.

4. $x$ 구하기:
$u$에 $2^x$를 다시 대입합니다.

• 사례 1: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
• 사례 2: $2^x = -4$. $2^x$는 엄격하게 양수여야 하므로 **해가 없습니다**.

유일한 해는 $\mathbf{x = 3}$입니다.

$A^B = 1$ 형태의 방정식에 대해 이것이 성립하는 세 가지 독립된 수학적 조건이 있습니다. 표를 사용하여 세 가지 사례를 체계적으로 확인합니다.

$A^B = 1$에 대한 조건	$x^{x^2 - 5x + 6} = 1$에 적용
사례 1: 밑이 1인 경우 ($A = 1$, $B$는 아무거나 가능)	밑을 1로 놓습니다: $x = 1$. *(확인: $1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$. 유효함.)* 해: $x = 1$
사례 2: 지수가 0인 경우 ($B = 0$, $A \neq 0$)	지수를 0으로 놓습니다: $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. *(밑 확인: 둘 다 0이 아님. 유효함.)* 해: $x = 2, x = 3$
사례 3: 밑이 -1인 경우 ($A = -1$, $B$는 짝수 정수여야 함)	밑을 -1로 놓습니다: $x = -1$. 이제 $x = -1$일 때 지수가 짝수인지 확인합니다: $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. 12는 짝수이므로 $(-1)^{12} = 1$입니다. 유효함. 해: $x = -1$

최종 해집합:
모든 실근의 집합은 $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$입니다.

1. 좌변 결합하기:
숫자 $2$와 $5$ 모두 정확히 같은 지수로 거듭제곱되어 있으므로, 규칙 $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$을 사용하여 결합할 수 있습니다:

$$ (2 \cdot 5)^{3x} = 10000^{x-1} $$ $$ 10^{3x} = 10000^{x-1} $$

2. 공통 밑 만들기:
$10000$이 10의 거듭제곱임을 인식합니다. 구체적으로 $10000 = 10^4$입니다. 이를 우변에 대입합니다:

$$ 10^{3x} = (10^4)^{x-1} $$

3. 지수 분배하기:
거듭제곱 법칙 $(x^m)^n = x^{mn}$을 사용합니다:

$$ 10^{3x} = 10^{4(x-1)} $$ $$ 10^{3x} = 10^{4x - 4} $$

4. 서로 같게 놓고 풀기:
밑이 같으므로 지수도 같아야 합니다:

$$ 3x = 4x - 4 $$ $$ 3x - 4x = -4 $$ $$ -x = -4 \implies \mathbf{x = 4} $$