다항식 곱셈: 연습 문제 및 단계별 해답 - 9학년

\( (-2)(-2x) \)
\( (x)(x + 1) \)
\( -x^2(-x + 1) \)
\( (-4x^3 - x)(2x - 1) \)
\( (-4x^3 - y)(2x - y) \)
\( (-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \)
\( \left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \)

단계별 해답 보기

상수끼리 곱한 후 변수를 붙입니다:

\[ (-2)(-2x) = 4x \]
괄호 안에 있는 두 항에 \(x\)를 분배합니다:

\[ \begin{aligned} (x)(x + 1) &= x(x) + x(1) \\ &= x^2 + x \end{aligned} \]
\(-x^2\)을 분배합니다:

\[ \begin{aligned} -x^2(-x + 1) &= -x^2(-x) - x^2(1) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} \]
두 이항식에 분배 법칙(FOIL 방법)을 적용합니다:

\[ \begin{aligned} (-4x^3 - x)(2x - 1) &= -4x^3(2x - 1) - x(2x - 1) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-1) - x(2x) - x(-1) \\ &= -8x^4 + 4x^3 - 2x^2 + x \end{aligned} \]
첫 번째 이항식의 각 항을 두 번째 이항식에 분배합니다:

\[ \begin{aligned} (-4x^3 - y)(2x - y) &= -4x^3(2x - y) - y(2x - y) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-y) - y(2x) - y(-y) \\ &= -8x^4 + 4x^3y - 2xy + y^2 \end{aligned} \]
첫 번째 삼항식의 세 항을 각각 두 번째 삼항식에 분배한 후 동류항을 정돈합니다:

\[ \begin{aligned} &(-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \\ &= -7x^2(2x^2 - x + 2) - 2x(2x^2 - x + 2) + 3(2x^2 - x + 2) \\ &= (-14x^4 + 7x^3 - 14x^2) + (-4x^3 + 2x^2 - 4x) + (6x^2 - 3x + 6) \\ &= -14x^4 + (7x^3 - 4x^3) + (-14x^2 + 2x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= -14x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 7x + 6 \end{aligned} \]
분수를 신중하게 분배합니다:

\[ \begin{aligned} &\left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2\left(-\dfrac{1}{2}x\right) - \dfrac{1}{3}x^2(9) + 4\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 4(9) \\ &= \dfrac{1}{6}x^3 - 3x^2 - 2x + 36 \end{aligned} \]

연산 순서를 기억하세요: 먼저 다항식을 곱한 후, 동류항을 더하거나 뺍니다.

단계별 해답 보기

먼저 이항식을 전개한 후, 남은 항들을 결합합니다:

\[ \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 &= [2x(3x - 2) - 1(3x - 2)] + 3x - 9 \\ &= [6x^2 - 4x - 3x + 2] + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 7x + 2 + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 4x - 7 \end{aligned} \]
부호를 분배하고 이항식을 곱합니다. 부호 오류를 방지하기 위해 중괄호를 사용하세요:

\[ \begin{aligned} -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) &= -2x - 2 - [2x(x - 3) - 1(x - 3)] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 6x - x + 3] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 7x + 3] \\ &= -2x - 2 - 2x^2 + 7x - 3 \\ &= -2x^2 + 5x - 5 \end{aligned} \]
두 쌍의 이항식을 각각 전개한 후 동류항을 모읍니다:

\[ \begin{aligned} &(-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \\ &= [-3x(y - 3) - 2(y - 3)] + [x(y - 6) - 5(y - 6)] \\ &= [-3xy + 9x - 2y + 6] + [xy - 6x - 5y + 30] \\ &= (-3xy + xy) + (9x - 6x) + (-2y - 5y) + (6 + 30) \\ &= -2xy + 3x - 7y + 36 \end{aligned} \]

단계별 해답 보기

제곱을 동일한 두 이항식의 곱으로 씁니다(또는 완전제곱 공식 사용):

\[ \begin{aligned} (x + 3y)^2 &= (x + 3y)(x + 3y) \\ &= x(x + 3y) + 3y(x + 3y) \\ &= x^2 + 3xy + 3xy + 9y^2 \\ &= x^2 + 6xy + 9y^2 \end{aligned} \]
완전제곱 이항식을 전개합니다:

\[ \begin{aligned} (2x - y)^2 &= (2x - y)(2x - y) \\ &= 2x(2x - y) - y(2x - y) \\ &= 4x^2 - 2xy - 2yx + y^2 \\ &= 4x^2 - 4xy + y^2 \end{aligned} \]
합차 공식(제곱의 차)입니다:

\[ \begin{aligned} (x - y)(x + y) &= x(x + y) - y(x + y) \\ &= x^2 + xy - yx - y^2 \\ &= x^2 - y^2 \end{aligned} \]
세제곱이므로 세 번 곱합니다. 먼저 앞의 두 개를 묶습니다:

\[ \begin{aligned} (x - 3)^3 &= (x - 3)(x - 3)(x - 3) \\ &= (x - 3)[x(x - 3) - 3(x - 3)] \\ &= (x - 3)[x^2 - 3x - 3x + 9] \\ &= (x - 3)(x^2 - 6x + 9) \end{aligned} \]

이제 이항식과 결과 삼항식을 곱합니다:

\[ \begin{aligned} (x - 3)(x^2 - 6x + 9) &= x(x^2 - 6x + 9) - 3(x^2 - 6x + 9) \\ &= (x^3 - 6x^2 + 9x) + (-3x^2 + 18x - 27) \\ &= x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \end{aligned} \]

다항식 곱셈: 질문 및 단계별 해답