Figura 1A definição da função de densidade de probabilidade é apresentada a partir de um histograma e, em seguida, um histograma de probabilidade . Exemplos com soluções relacionadas à densidade de probabilidade também estão incluídos.
Usamos 2.560 valores de dados gerados com planilhas do Google para apresentar a ideia de passar do histograma de frequências para um histograma de arquivo de dados (1) da planilha Google, incluindo os dados usados aqui, pode ser baixado e usado para fazer os mesmos histogramas usados nesta página.
O tempo aqui é considerado uma variável aleatória contínua.
O histograma obtido usando o Google Sheets é mostrado abaixo. As classes no eixo horizontal possuem largura igual a 1 e as frequências estão no eixo vertical.
A soma de todas as frequências é igual ao número total de valores de dados que é igual a 2560.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Fica claro a partir dos histogramas de probabilidade acima e da linha de tendência, que se tivermos um grande número de valores de dados, que é o caso de uma variável aleatória contínua, à medida que a largura da classe se torna menor, a linha de tendência é uma função que pode ser usada para calcular probabilidades usando a área entre o eixo x e a curva desta função.
Esta função de linha de tendência é chamada de função de densidade de probabilidade.
Se a função \( f_{X}(x) \) é a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória \( X \), então a probabilidade de que \( X \) seja maior ou igual a \( a \) e menor maior ou igual a \( b \) escrito como \( P( a \le X \le b) \)é dado pela área entre o eixo x, a curva e as linhas verticais \( x = a \) e \(x=b\).
\[ \displaystyle P(a \le X \le b) = \text{Área entre a curva, o eixo x e x = a até x = b} \]
Figura 5
As funções de densidade de probabilidade (PDF) \( f_{X}(x) \) de uma variável aleatória contínua \( X \) tem as seguintes propriedades:
1 - \( f_{X}(x) \ge 0 \)
2 - \( \displaystyle P(-\infty \lt X \lt -\infty) = 1 \), a área total entre a curva de \( f_{X}(x) \) e o eixo x é igual a 1.
Usando integrais em cálculo, podemos escrever
\[ \displaystyle P(a \le X \le b) = \int_a^b f_{X}(x) \; dx\]
que é a área entre a curva do PDF, o eixo x e \( x = a \) a \( x = b \).
\[ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \; dx = 1\]
que é a área total entre o eixo x e a curva do PDF
Exemplo 1
Uma variável aleatória \( X \) tem funções de densidade de probabilidade uniforme \( f_{X}(x) \) dadas por
\[ \begin{equation}
f_{X}(x) = \left\{
\begin{array}{l l}
\dfrac{k}{b-a} & \quad a \le x \le b\\
0 & \quad x \lt a \text{ or } x \gt b
\end{array} \right.
\end{equation}\]
onde \( k \) é uma constante positiva.
a - Trace o gráfico de \( f_{X}(x) \).
b - Use o gráfico acima e as propriedades das funções de densidade de probabilidade para encontrar \(k\).
c - Use integrais em cálculo para mostrar que a área total entre o eixo x e a curva é igual a \( 1 \).
d - Sejam \( a = 3 \) e \( b = 8 \), encontre a probabilidade \( P( 4 \le X \le 7) \).
Solução
a-
O gráfico da função de densidade de probabilidade \( f_{X}(x) \) é mostrado abaixo.
Figura 6
Exemplo 2
Uma variável aleatória \( X \) tem funções de densidade de probabilidade uniforme \( f_{X}(x) \) dadas por
\[ \begin{equation}
f_{X}(x) = \left\{
\begin{array}{l l}
e^{-k x} & \quad x \ge 0\\
0 & \quad x \lt 0
\end{array} \right.
\end{equation}\]
onde \( k \) é uma constante positiva.
a - Encontre \( k \).
b - Encontre \( a \) para que \( P( 0 \le X \le a) = 0,9\) .
Solução
a-
A propriedade da função de densidade de probabilidade que \( f_{X}(x) \ge 0 \) é satisfeita.
Para que a segunda propriedade da função de densidade de probabilidade seja satisfeita, a área total entre a curva de \( f_{X}(x) \) e o eixo x deve ser igual a \( 1 \).
A área \( A \) entre o eixo x e a curva de \( f_{X}(x) \) é dada pela integral
\(\displaystyle \qquad A = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \; dx \)
Reescreva o acima como
\( \displaystyle\qquad A = \int_{-\infty}^{0} f_{X}(x) \; dx + \int_{0}^{\infty} f_{X}(x) \; dx \)
\( f_{X}(x) = 0 \) no intervalo \( (-\infty , 0 ) \), portanto, o acima simplifica para
\(\displaystyle \qquad A = \int_{0}^{\infty} f_{X}(x) \; dx \)
A integral acima é imprópria e pode ser escrita como
\( \displaystyle \qquad A = \lim_{\; b\to\infty} \int_{0}^{b} f_{X}(x) \; dx \)
Substitua \( f_{X}(x) \) por \( e^{-k x} \) e avalie a integral
\( \displaystyle \qquad A = \lim_{\; b\to\infty} \int_{0}^{b} e^{-k x} \; dx \)
\( \displaystyle \qquad A = \lim_{\; b\to\infty} \left[ -\frac{1}{k}e^{-kx} \right]_0^b \)
\( \displaystyle \qquad A = \lim_{\; b\to\infty} \left[ -\frac{1}{k}e^{-k b} + \frac{1}{k} e^{0} \right] \)
Simplificar
\( \displaystyle \qquad A = - \lim_{\; b\to\infty} \frac{1}{k}e^{-k b} + \frac{1}{k} \)
Como \( k \) é positivo, \( \displaystyle \lim_{\; b\to\infty} \frac{1}{k}e^{-k b} = 0 \) e, portanto,
\( \displaystyle \qquad A = \dfrac{1}{k} \)
A área total \( A = 1 \), daí a equação
\( \qquad \dfrac{1}{k} = 1 \)
Resolva para \( k \) para obter
\( \qquad k = 1 \)
b-
\( \displaystyle \qquad P( 0 \le X \le a) = \int_0^a f_{X}(x) \; dx \)
Como \( k = 1 \), \( f_{X} (x) = e^{- x} \) para \( x \ge 0 \), portanto
\( \displaystyle \qquad P( 0 \le X \le a) = \int_0^a e^{-x} \; dx \)
Avalie a integral acima.
\( \displaystyle \qquad P( 0 \le X \le a) = \left[-e^{-x} \right]_0^a = -e^{-a} + 1 \)
Como \( P( 0 \le X \le a) = 0,9 \) ; escrevemos a equação
\( \qquad -e^{-a} + 1 = 0,9 \)
Resolva para \(uma\)
\( \qquad e^{-a} = 0,1 \)
\( \qquad a = - \ln 0,1 \approx 2,3 \)
