Ecuaciones con expresiones racionales - Tutorial paso a paso

Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones que contienen expresiones racionales. La estrategia principal es multiplicar todos los términos de la ecuación por el mínimo común denominador (mcd) para eliminar las fracciones.

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Resuelva la siguiente ecuación:

\[ \frac{10}{x - 1} = 5 \]

Ver Solución
  1. Multiplique ambos lados por el denominador \(x - 1\) para eliminar la fracción: \[ (x - 1)\left(\frac{10}{x - 1}\right) = 5(x - 1) \]
  2. Simplifique cada lado: \[ 10 = 5x - 5 \]
  3. Sume 5 a ambos lados para aislar el término con la variable: \[ 15 = 5x \]
  4. Divida por 5: \[ x = 3 \]
  5. Verifique la solución:

    Sustituyendo \(x = 3\) de nuevo en la ecuación original:

    \[ \frac{10}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

    Solución válida.

Conclusión: La solución es \[ x = 3 \]

Ejemplo 2

Resuelva la siguiente ecuación:

\[ 1 - \frac{1}{x - 2} = 4 \]

Ver Solución
  1. Multiplique todos los términos por el denominador \(x - 2\) para eliminar la fracción: \[ (x - 2)\left(1 - \frac{1}{x - 2}\right) = (x - 2) \cdot 4 \]
  2. Simplifique cada lado: \[ (x - 2) - 1 = 4(x - 2) \]
  3. Expanda y simplifique: \[ x - 3 = 4x - 8 \]
  4. Mueva todos los términos que contienen \(x\) a un lado: \[ -3x - 3 = -8 \]
  5. Aísle \(x\): \[ -3x = -5 \] \[ x = \frac{5}{3} \]

Conclusión: La solución es \[ x = \frac{5}{3} \]

Ejemplo 3

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación:

\[ 1 - \frac{1}{x - 2} = -\frac{4}{x^2 - 4} \]

Ver Solución
  1. Identifique el mínimo común denominador (mcd): \((x-2)(x+2)\). Multiplique todos los términos por el mcd: \[ (x-2)(x+2)\left(1 - \frac{1}{x - 2}\right) = (x-2)(x+2)\left(-\frac{4}{x^2 - 4}\right) \]
  2. Cancele los factores comunes: \[ (x-2)(x+2) - (x+2) = -4 \]
  3. Expanda y simplifique: \[ x^2 - x - 6 = -4 \]
  4. Sume 4 a ambos lados: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]
  5. Factorice la cuadrática: \[ (x + 1)(x - 2) = 0 \]
  6. Iguale cada factor a cero y resuelva: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 2 \]
  7. Verifique cada solución para encontrar raíces extrañas:

    Verifique \(x = -1\):

    \[ \text{Lado Izquierdo} = 1 - \frac{1}{-1 - 2} = 1 - \frac{1}{-3} = \frac{4}{3} \] \[ \text{Lado Derecho} = -\frac{4}{(-1)^2 - 4} = -\frac{4}{1-4} = \frac{4}{3} \]

    Solución válida.

    Verifique \(x = 2\):

    Este valor hace que el denominador sea \(x-2=0\), lo cual es indefinido. Por lo tanto, no es una solución válida.

Conclusión: La solución es \[ x = -1 \]

Ejemplo 4

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación:

\[ \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3} = \frac{18}{x^2 - 9} \]

Ver Solución
  1. Identifique el mínimo común denominador (mcd). Note que \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). El mcd es \((x - 3)(x + 3)\).
  2. Multiplique todos los términos por el mcd: \[ (x - 3)(x + 3)\left(\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3}\right) = (x - 3)(x + 3)\left(\frac{18}{x^2 - 9}\right) \]
  3. Cancele los factores comunes en los denominadores: \[ x(x + 3) - 2(x - 3) = 18 \]
  4. Expanda y simplifique el lado izquierdo: \[ x^2 + 3x - 2x + 6 = 18 \] \[ x^2 + x + 6 = 18 \]
  5. Mueva todos los términos a un lado para formar una ecuación cuadrática estándar: \[ x^2 + x - 12 = 0 \]
  6. Factorice la cuadrática: \[ (x + 4)(x - 3) = 0 \]
  7. Iguale cada factor a cero y resuelva: \[ x_1 = -4, \quad x_2 = 3 \]
  8. Verifique cada solución para encontrar raíces extrañas:

    Verifique \(x = -4\):

    Ni \(x - 3\) ni \(x + 3\) dan como resultado cero. Los denominadores son \(-7\) y \(-1\). Solución válida.

    Verifique \(x = 3\):

    Este valor hace que el denominador sea \(x - 3 = 0\), resultando en una división por cero. Es una raíz extraña y no es una solución válida.

Conclusión: La única solución válida es \[ x = -4 \]

Recursos Adicionales