Ecuaciones Cuadráticas y Racionales: Soluciones Paso a Paso

Esta página contiene 10 ejercicios sobre ecuaciones cuadráticas y racionales con soluciones detalladas. Puede practicar la resolución de estas ecuaciones y consultar las explicaciones como guía.

Es posible que desee revisar nuestro tutorial sobre Ecuaciones con Expresiones Racionales antes de intentar las preguntas.

Preguntas de Práctica con Soluciones

Pregunta 1

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación cuadrática:

\[x^2 + 2x = -1\]

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  • Reescriba con cero a la derecha: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]
  • Factorice la cuadrática: \[ (x + 1)^2 = 0 \]
  • Solución (raíz repetida): \[ x = -1 \]

Pregunta 2

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación cuadrática:

\[x^2 + 2 = x + 5\]

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  • Reescriba con cero a la derecha: \[ x^2 - x - 3 = 0 \]
  • Discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 13 \]
  • Soluciones: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \]

Pregunta 3

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación:

\[-(x + 2)(x - 1) = 3\]

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  • Expanda: \[ -x^2 - x + 2 = 3 \]
  • Reescriba con cero a la derecha: \[ -x^2 - x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x + 1 = 0 \]
  • Discriminante: \[ D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 \]
  • Como \(D < 0\), no hay soluciones reales.

Pregunta 4

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación racional:

\[\frac{2x + 1}{x + 2} = x - 1\]

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  • Restricción de dominio: \(x \neq -2\). Multiplique ambos lados por \(x + 2\): \[ 2x + 1 = (x - 1)(x + 2) \]
  • Expanda y simplifique: \[ 2x + 1 = x^2 + x - 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0 \]
  • Discriminante: \[ D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 13 \]
  • Soluciones: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \]

Pregunta 5

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación racional:

\[\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = -1\]

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  • MCM de los denominadores: \((x + 1)(x - 2)\). Multiplique ambos lados: \[ 2(x - 2) - (x + 1) = -1 (x + 1)(x - 2) \]
  • Expanda y simplifique: \[ x - 5 = -x^2 + x + 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 7 \]
  • Soluciones: \[ x_1 = \sqrt{7}, \quad x_2 = -\sqrt{7} \]

Pregunta 6

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación cuadrática:

\[2(x - 2)^2 - 6 = -2\]

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  • Sume 6: \[ 2(x - 2)^2 = 4 \]
  • Divida por 2: \[ (x - 2)^2 = 2 \]
  • Tome raíces cuadradas: \[ x - 2 = \sqrt{2} \quad \text{o} \quad x - 2 = -\sqrt{2} \]
  • Soluciones: \[ x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2} \]

Pregunta 7

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación racional:

\[\frac{x}{x + 4} = -\frac{3}{x - 2} + \frac{18}{(x - 2)(x + 4)}\]

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  • MCM de los denominadores: \((x + 4)(x - 2)\). Multiplique ambos lados: \[ x(x - 2) = -3(x + 4) + 18 \]
  • Simplifique: \[ x^2 - 2x = -3x - 12 + 18 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 6 = 0 \]
  • Factorice y resuelva: \[ (x + 3)(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3, \, x = 2 \]
  • Verifique restricciones: \(x = 2\) está excluido (denominador cero). Por lo tanto, la solución es: \[ x = -3 \]

Pregunta 8

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación cuadrática:

\[x^2 - 3(x - 3)^2 = 2\]

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  • Expanda: \[ x^2 - 3(x^2 - 6x + 9) = 2 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 + 18x - 27 = 2 \]
  • Reescriba: \[ -2x^2 + 18x - 29 = 0 \]
  • Multiplique por -1 para obtener un coeficiente principal positivo: \[ 2x^2 - 18x + 29 = 0 \]
  • Discriminante: \[ D = (-18)^2 - 4(2)(29) = 324 - 232 = 92 \]
  • Soluciones: \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{18 \pm 2\sqrt{23}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{23}}{2} \]

Pregunta 9

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación racional:

\[\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 4} = \frac{x^2}{x^2 - 16}\]

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  • MCM: \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\). Multiplique ambos lados por \( (x - 4)(x + 4) \) : \[ (x + 4) + (x - 4) = x^2 \quad \Rightarrow \quad 2x = x^2 \]
  • Reescriba: \[ x^2 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 2) = 0 \]
  • Soluciones: \[ x = 0, \quad x = 2 \]

Pregunta 10

Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación racional:

\[-\frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} = -\frac{4}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3}\]

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  • MCM: \(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\). Multiplique ambos lados: \[ -x(x - 3) - x(x + 3) = -4 - (x - 3) \]
  • Simplifique y reescriba: \[ -x^2 + 3x - x^2 - 3x = -4 - x + 3 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 = -x - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - x - 1 = 0 \]
  • Factorice y resuelva: \[ (2x + 1)(x - 1) = 0 \]
  • Soluciones: \[ x = 1, \quad x = -\frac{1}{2} \]

Recursos Adicionales