La definición y las propiedades de la composición de funciones se analizan a través de ejemplos con soluciones detalladas y explicaciones.
Sean \( f \) y \( g \) dos funciones. Si permitimos que la función \( f \) tome como entrada la función \( g \) (ver diagrama a continuación), la función resultante se llama función compuesta o composición de \( f \) y \( g \), denotada por \( f_o g \) y se define como:
\[ (f_o g)(x) = f(g(x)) \]
Esta función compuesta está definida si \( x \) está en el dominio de \( g \) y \( g(x) \) está en el dominio de \( f \) (ver diagrama a continuación).
Las funciones \( f \) y \( g \) están definidas por sus tablas de la siguiente manera:
| \( x \) | \( f(x) \) | \( x \) | \( g(x) \) | |
| 3 | 4 | 2 | 6 | |
| 5 | 7 | 6 | 3 | |
| 6 | 8 | 7 | 9 | |
| 8 | 11 | 8 | 5 |
1) Encuentra los valores de:
a) \( (f_o g)(2) \), b) \( (f_o g)(6) \), c) \( (f_o g)(7) \), d) \( (f_o g)(8) \)
e) \( (g_o f)(3) \), f) \( (g_o f)(5) \), g) \( (g_o f)(6) \), h) \( (g_o f)(8) \)
i) \( (g_o g)(2) \)
2) Encuentra el dominio de \( f_o g \) y \( g_o f \).
1)
a) Usa la definición de composición de funciones para escribir:
\( (f_o g)(2) = f(g(2)) \)
Usa la tabla para encontrar el valor de \( g(2) = 6 \).
Sustituye de nuevo en \( f(g(2)) \):
\( (f_o g)(2) = f(g(2)) = f(6) \)
Usa la tabla para evaluar \( f(6) \):
\( (f_o g)(2) = f(g(2)) = f(6) = 8 \)
Usa pasos similares para los siguientes:
b) \( (f_o g)(6) = f(g(6)) = f(3) = 4 \)
c) \( (f_o g)(7) = f(g(7)) = f(9) = \) indefinido
d) \( (f_o g)(8) = f(g(8)) = f(5) = 7 \)
e) \( (g_o f)(3) = g(f(3)) = g(4) = \) indefinido
f) \( (g_o f)(5) = g(f(5)) = g(7) = 9 \)
g) \( (g_o f)(6) = g(f(6)) = g(8) = 5 \)
h) \( (g_o f)(8) = g(f(8)) = g(11) = \) indefinido
i) \( (g_o g)(2) = g(g(2)) = g(6) = 3 \)
2)
Usa los resultados de la parte 1) para escribir los pares ordenados que definen \( g_o f \) y \( f_o g \), y luego deduce el dominio.
\( g_o f : \{(2,6),(6,4),(8,7)\} \), por lo tanto, el dominio de \( g_o f \) es: {2,6,8}
\( f_o g : \{(5,9),(6,5)\} \), por lo tanto, el dominio de \( f_o g \) es: {5,6}
Las funciones \( f \) y \( g \) están dadas por sus gráficas como se muestra a continuación:
Encuentra los valores de:
a) \( (f_o g)(-2) \) b) \( (f_o g)(0) \) c) \( (f_o g)(4) \) d) \( (f_o g)(8) \) e) \( (g_o f)(2) \) f) \( (g_o f)(0) \)
a) Usa la definición de composición de funciones para escribir:
\( (f_o g)(-2) = f(g(-2)) \)
Usa la gráfica de g para encontrar el valor de \( g(-2) = -3 \).
Sustituye de nuevo en \( f(g(-2)) \):
\( (f_o g)(-2) = f(g(-2)) = f(-3) \)
Usa la gráfica de f para evaluar \( f(-3) \):
\( (f_o g)(-2) = f(g(-2)) = f(-3) = 9 \)
Usa pasos similares para evaluar los siguientes:
b) \( (f_o g)(0) = f(g(0)) = f(-2) = 4 \)
c) \( (f_o g)(4) = f(g(4)) = f(0) = 0 \)
d) \( (f_o g)(8) = f(g(8)) = f(2) = 4 \)
e) \( (g_o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 0 \)
f) \( (g_o f)(0) = g(f(0)) = g(0) = -2 \)
Las funciones \( f \) y \( g \) están definidas por las fórmulas: \( f(x) = 2x + 1 \) y \( g(x) = -x + 1 \).
a) Encuentra la función compuesta \( (g_o f)(x) \).
b) Encuentra la función compuesta \( (f_o g)(x) \).
a)
Usa la definición de composición de funciones para escribir:
\( (g_o f)(x) = g(f(x)) \)
Expresa \( g(f(x)) \) en términos de \( f(x) \):
\( (g_o f)(x) = g(f(x)) = -(f(x)) + 1 \)
Sustituye \( f(x) \) por su fórmula:
\( (g_o f)(x) = g(f(x)) = -(2x + 1) + 1 \)
Simplifica:
\( (g_o f)(x) = g(f(x)) = -(2x + 1) + 1 = -2x \)
b)
Usa la definición de composición de funciones para escribir:
\( (f_o g)(x) = f(g(x)) \)
Expresa \( f(g(x)) \) en términos de \( g(x) \):
\( (f_o g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 1 \)
Sustituye \( g(x) \) por su fórmula y simplifica:
\( (f_o g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 1 = 2(-x + 1) + 1 = -2x + 3 \)
Observa que \( (g_o f)(x) \ne (f_o g)(x) \), lo que significa que la composición de funciones no es conmutativa.
Las funciones \( f \) y \( g \) están definidas por las fórmulas: \( f(x) = 2x + 1 \) y \( g(x) = \sqrt{x - 1} \).
Encuentra la función compuesta \( (g_o f)(x) \) y su dominio.
\( (g_o f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{f(x) - 1} = \sqrt{2x + 1 - 1} = \sqrt{2x} \)
Dos condiciones para el dominio de \( (g_o f) \):
1) \( x \) debe estar en el dominio de \( f \), que está dado por el intervalo: \( (-\infty , +\infty) \).
2) \( f(x) \) debe estar en el dominio de \( g \), que es el dominio de \( g(f(x)) \).
El dominio de \( g(f(x)) = \sqrt{2x} \) se encuentra resolviendo la desigualdad: \( 2x \ge 0 \), cuyo conjunto solución está dado por el intervalo: \( [0 , + \infty) \).
El dominio de \( (g_o f) \) está dado por la intersección (rojo) de los conjuntos en 1) y 2) (azul): \( [0 , + \infty) \).
Las funciones \( f \) y \( g \) están definidas por las fórmulas: \( f(x) = x^2 + 1 \) y \( g(x) = \sqrt{4 - x^2} \).
1) Encuentra la función compuesta \( (f_o g)(x) \) y su dominio.
2) Grafica la función \( f \), \( g \) y \( f_o g \) en el mismo sistema de coordenadas.
1)
\( (f_o g)(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 + 1 = (\sqrt{4 - x^2})^2 + 1 = 5 - x^2 \)
Dos condiciones para el dominio de \( (f_o g) \):
1) \( x \) debe estar en el dominio de g, que se encuentra resolviendo la desigualdad \( 4 - x^2 \ge 0 \). El dominio de g está dado por el intervalo: \( [-2, +2] \).
2) \( g(x) \) debe estar en el dominio de f, que es el dominio de \( f(g(x)) \), es decir, el intervalo \( (-\infty , +\infty) \).
El dominio de \( (f_o g) \) está dado por la intersección (rojo) de los conjuntos en 1) y 2) (azul): \( [-2 , +2] \).
2)
A continuación se muestran las gráficas de \( f \), \( g \) y \( f_o g \).
En general, \( (f_o g)(x) \ne (g_o f)(x) \), por lo tanto, la composición de funciones no es conmutativa.
El ejemplo 3 ya muestra que la composición de funciones no es conmutativa.
Sean \( f(x) = x^2 - 1 \) y \( g(x) = 2x \).
Demuestra que \( (f_o g)(x) \ne (g_o f)(x) \).
\( (f_o g)(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 - 1 = (2x)^2 - 1 = 4x^2 - 1 \)
\( (g_o f)(x) = g(f(x)) = 2 f(x) = 2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2 \)
Por lo tanto, \( (f_o g)(x) \ne (g_o f)(x) \) y la composición de funciones no es conmutativa.
Sean \( f, g \) y \( h \) tres funciones; \( f_o (g_o h) = (f_o g)_o h \), por lo tanto, la composición de funciones es asociativa.
Demuestra que \( (f_o (g_o h))(x) = ((f_o g)_o h)(x) \).
1) Lado izquierdo:
Usa la definición de composición para escribir:
\( (f_o (g_o h))(x) = f((g_o h)(x)) \)
Usa la definición de composición nuevamente:
\( = f(g(h(x))) \)
2) Lado derecho:
Usa la definición de composición para escribir:
\( ((f_o g)_o h)(x) = (f_o g)(h(x)) \)
Usa la definición de composición para escribir:
\( = f(g(h(x))) \)
Por lo tanto,
\( (f_o (g_o h))(x) = ((f_o g)_o h)(x) \).
Si \( f \) y \( g \) son invertibles, entonces \( (f_o g)^{-1} = g^{-1}_o f^{-1} \).
Sean \( f(x) = \dfrac{1}{x-1} \) y \( g(x) = -x + 5 \).
Demuestra que \( (f_o g)^{-1} = g^{-1}_o f^{-1} \).
Primero calculamos \( (f_o g)(x) \) y luego su inversa \( (f_o g)^{-1}(x) \):
\( (f_o g)(x) = f(g(x)) = \dfrac{1}{g(x) - 1} = \dfrac{1}{-x + 5 - 1} = \dfrac{1}{-x + 4} \)
\( (f_o g)^{-1}(x) = -\dfrac{1}{x} + 4 \)
Ahora calculamos las inversas \( f^{-1}(x) \), \( g^{-1}(x) \) y luego calculamos la composición \( (g^{-1}_o f^{-1})(x) \):
\( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} + 1 \)
\( g^{-1}(x) = -x + 5 \)
\( (g^{-1}_o f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) = -(f^{-1}(x)) + 5 = -\left( \dfrac{1}{x} + 1 \right) + 5 = -\dfrac{1}{x} + 4 \)
Concluimos que:
\( (g^{-1}_o f^{-1})(x) = (f_o g)^{-1}(x) \).