Ecuación de la Elipse
Definición y Ecuación de una Elipse con Eje Vertical
Una elipse es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\) en un plano tales que la suma de las distancias desde \( M \) a los puntos fijos \( F_1 \) y \( F_2 \), llamados focos (plural de foco), es igual a una constante.
\( \overline{MF_1} + \overline{MF_2} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2 a \)
Para \( a \ge b \ge 0 \), eliminando las raíces cuadradas mediante la elevación al cuadrado y simplificando utilizando la relación \( a^2 = b^2 + c^2\), podemos obtener la ecuación estándar de una elipse dada por:
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
El ancho de la elipse es \( 2 a \) y la altura es \( 2 b \)
El punto \(O(0,0)\) es el centro de la elipse.
Los puntos \( V_1(a,0) \) y \( V_2(-a,0) \) se llaman los vértices de la elipse.
Los focos están en \( F_1(c,0) \) y \( F_2(-c,0) \)
Ejemplo 1
Una elipse centrada en \( (0,0) \) tiene intersecciones x en \( (7,0) \) y \( ( -7 ,0) \) e intersecciones y en \( (0,4) \) y \( ( 0,-4) \). Encuentra la ecuación de la elipse y los focos \( F_1 \) y \( F_2 \)
Solución al Ejemplo 1
La ecuación de una elipse cuyo centro está en el origen está dada por
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) , \( a \gt 0 \) y \( b \gt 0 \)
Encuentra el eje x estableciendo y = 0 en la ecuación anterior
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{0^2}{b^2} = 1 \)
Simplifica
\( \dfrac{x^2}{a^2} = 1 \)
Resuelve para \( x \)
\( x = a \) y \( x = - a \)
Las intersecciones x están dadas por \( (7,0) \) y \( ( -7 ,0) \) lo que da \( a = 7 \).
Encuentra el eje y estableciendo x = 0 en la ecuación general anterior
\( \dfrac{0^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
Simplifica
\( \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
Resuelve para \( y \)
\( y = b \) y \( y = - b \)
Las intersecciones y están dadas por \( (0,4) \) y \( ( 0 , -4) \) lo que da \( b = 4 \).
Para encontrar los focos, primero necesitamos encontrar el parámetro \( c \) que está relacionado con \( a \) y \( b \) mediante
\( a^2 = b^2 + c^2\)
Sustituye \( a \) y \( b \) por sus valores y resuelve para \(c \)
\( 7^2 = 4^2 + c^2\)
\( c = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33} \)
Las coordenadas de los dos focos F1 y F2 están dadas por
\( F_1(c,0) = F_1(\sqrt{33} , 0) \) y \( F_1( - c,0) = F_1( - \sqrt{33} , 0) \)
Ecuación General de una Elipse
Podemos generalizar y escribir la ecuación de una elipse cuyo centro está en \( O(h,k) \) de la siguiente manera
\( \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)
con focos en \( F_1(c+h,k) \) y \( F_2(-c+h,k) \) y vértices en \( V_1(a+h,k) \) y \( V_2(-a+h,k) \).
Ejemplo 2
Encuentra el centro, los focos y los vértices de la elipse dada por la ecuación \( (x - 1)^2 + 4(y-2)^2 = 16 \) y luego usa una calculadora gráfica para graficar la ecuación dada y verifica tus respuestas.
Solución al Ejemplo 2
Reescribe la ecuación dada en forma estándar dividiendo todos los términos por 16.
\( \dfrac{(x - 1)^2}{16} + \dfrac{4(y-2)^2}{16} = \dfrac{16}{16} \) .
Simplifica y escribe los denominadores de los términos de la izquierda como cuadrados
\( \dfrac{(x - 1)^2}{4^2} + \dfrac{(y-2)^2}{2^2} = 1 \)
Compara la ecuación anterior de una elipse en forma estándar con la ecuación general \( \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \) e identifica los parámetros \( a, b, h\) y \( k \).
\(a = 4, b = 2, h = 1\) y \( k = 2 \)
El centro está en el punto \( O(h,k) = O(1,2) \)
Encuentra el parámetro \( c \) usando la relación \( a^2 = b^2 + c^2\)
\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = 2 \sqrt{3} \)
Los focos están en los puntos
\( F_1(c+h,k) = F_1(2 \sqrt{3}+1,2) \) y \( F_2(-c+h,k) = F_2(-2 \sqrt{3}+1,2) \)
Los vértices están en los puntos
\( V_1(a+h,k) = V_1(5,2) \) y \( V_2(-a+h,k) = V_2(-3,2) \)
La gráfica de la ecuación dada \( (x - 1)^2 + 4(y-2)^2 = 16 \) se muestra a continuación y es la de una elipse con centro en \(O(1,2)\) y vértices en \(V_1(5,2) \) y \(V_2(-3,2) \) como se calculó anteriormente.
Tutorial Interactivo sobre la Ecuación de una Elipse
Se presenta una aplicación para explorar la ecuación de una parábola y sus propiedades. La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la forma
\( \dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)
La exploración se lleva a cabo cambiando los parámetros \( a, b, h \) y \( k \) incluidos en la ecuación anterior. Los valores predeterminados, cuando abres esta página, son: \( a = 4, b = 2, h = 2 \) y \( k = 3 \).
A continuación se enumeran algunas actividades, pero se pueden generar muchas otras.
Haz clic en el botón "Trazar Ecuación" para comenzar.
Pasa el cursor del mouse sobre la gráfica o el punto trazado para leer las coordenadas.
Haz clic en el botón de arriba "Trazar Ecuación". Puedes pasar el cursor del mouse sobre la gráfica de la elipse y los puntos para leer las coordenadas. También puedes pasar el cursor del mouse en la parte superior derecha de la gráfica para tener las opciones de zoom, descargar la gráfica como un archivo png, ...
1 - Selecciona un punto M en la gráfica de la elipse, pasa el cursor sobre él y lee las coordenadas. Lee las coordenadas de F1 y F2 (leyenda derecha) o pasa el cursor y lee las coordenadas y muestra que la suma de las distancias \( \overline{MF_1} + \overline{MF_2} \) es cercana a \( 2a\).
Puedes realizar la actividad anterior para diferentes valores de \( a, b, h\) y \( k \) y tantos puntos como sea necesario para comprender mejor la definición de una elipse.
2 - Utiliza los valores de \( a \) y \( b \) para encontrar \( c \) usando la relación entre \( a, b\) y \( c \) dada por \( a^2 = b^2 + c^2\).
Utiliza los resultados anteriores para encontrar las coordenadas de \( F_1, F_2, V_1 \) y \( V_2 \) y verifica los resultados gráficamente.
3 - Establece \( a, b, h\) y \( k \) con algunos valores. Encuentra las intersecciones x e y y verifica tus resultados gráficamente.
4 - Ejercicio:
Demuestra mediante cálculos algebraicos que la siguiente ecuación \( \dfrac{(x + 2)^2}{5} + 5(y-3)^2 = 5 \) es la de una elipse y encuentra el centro, los focos y los vértices de la elipse dada por la ecuación, luego usa la aplicación para graficarla y verifica tus respuestas.
Si es necesario, Papel gráfico gratuito está disponible.
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Elipse
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