Encuentra el área de cada triángulo a continuación.
Una colección de problemas sobre cálculo de áreas de triángulos utilizando diferentes fórmulas, con soluciones detalladas.
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times AB \times CD \)
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \times CA \times CB \times \sin(C) \)
\( \text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
donde \( s = \frac{1}{2}(a+b+c) \) es el semiperímetro
Para los vértices \( A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) \):
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{bmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right| \]donde det representa el determinante de la matriz 3×3.
Problema 1
Encuentra el área de cada triángulo a continuación.
Problema 2
Encuentra el área del triángulo CDB.
Problema 3
Encuentra el área del triángulo de abajo.
Problema 4
Encuentra el área de un triángulo equilátero con lado de 6 cm.
Problema 5
El rectángulo ABCD tiene un largo de 60 y un ancho de 30. BF = 10, GC = 20. Encuentra el área sombreada.
Problema 6
El cuadrilátero FGHE está inscrito en el rectángulo ABCD (largo 100, ancho 50). E y G son los puntos medios de AB y DC respectivamente. Encuentra el área de FEHG.
Problema 7
Encuentra el área del triángulo formado por la intersección de las rectas: \( y = x \), \( y = -x + 4 \), y \( y = 2x + 2 \).
Problema 8
Encuentra el área de la figura de abajo.
Solución 1
a) Base y altura conocidas: \( \text{Área} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7.5 \text{ unidades}^2 \)
b) Dos lados y el ángulo comprendido: \( \text{Área} = \frac{1}{2} \times 35 \times 40 \times \sin(70^\circ) \approx 657.8 \text{ mm}^2 \)
c) Fórmula de Herón: \( s = \frac{5+3+6}{2} = 7 \), \( \text{Área} = \sqrt{7(7-5)(7-3)(7-6)} = \sqrt{7 \times 2 \times 4 \times 1} = \sqrt{56} \approx 7.5 \text{ unidades}^2 \)
d) Usando coordenadas:
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}2&4&1\\-1&2&1\\3&-2&1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} |2(2+2) -4(-1-3) +1(2-6)| = \frac{1}{2} |8 + 16 - 4| = 10 \text{ unidades}^2 \)
Solución 2
Base \( CD = 20 \), altura \( AB = 80 \):
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \times 20 \times 80 = 800 \text{ unidades}^2 \)
Solución 3
Usando la ley de senos: \( \frac{\sin A}{6} = \frac{\sin 55^\circ}{5} \)
\( \sin A = \frac{6 \sin 55^\circ}{5} \approx 0.983 \)
\( A \approx 79.4^\circ \), por lo tanto \( B \approx 180^\circ - 55^\circ - 79.4^\circ = 45.6^\circ \)
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin 45.6^\circ \approx 10.7 \text{ unidades}^2 \)
Solución 4
Triángulo equilátero lado = 6 cm:
Altura \( h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \approx 15.6 \text{ cm}^2 \)
Solución 5
Área sombreada = Área del rectángulo - Área del triángulo EFG
\( FG = 60 - 10 - 20 = 30 \), altura = 30
Área del triángulo = \( \frac{1}{2} \times 30 \times 30 = 450 \)
Área sombreada = \( 60 \times 30 - 450 = 1800 - 450 = 1350 \text{ unidades}^2 \)
Solución 6
Cuadrilátero FEHG = Triángulo FEG + Triángulo EHG
Base común \( EG = 100 \), alturas = 25 cada una
Área de cada triángulo = \( \frac{1}{2} \times 100 \times 25 = 1250 \)
Área total = \( 1250 + 1250 = 2500 \text{ unidades}^2 \)
Solución 7
Puntos de intersección:
A: \( 2x+2 = -x+4 \Rightarrow x=\frac{2}{3}, y=\frac{10}{3} \)
B: \( 2x+2 = x \Rightarrow x=-2, y=-2 \)
C: \( x = -x+4 \Rightarrow x=2, y=2 \)
Usando la fórmula del determinante:
\( \text{Área} = \frac{1}{2} \left| \frac{2}{3}(-2-2) + (-2)(2-\frac{10}{3}) + 2(\frac{10}{3}+2) \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{32}{3} \right| = \frac{16}{3} \text{ unidades}^2 \)
Solución 8
Figura = Triángulo ADC + Triángulo ACB
Primero, encuentra AC usando la ley de cosenos en el triángulo ACB:
\( AC^2 = 400^2 + 800^2 - 2(400)(800)\cos45^\circ = 160000 + 640000 - 640000 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( AC \approx 589.5 \)
Para el triángulo ADC (lados 245, 432, 589.5), usa la fórmula de Herón:
\( s = \frac{245+432+589.5}{2} = 633.25 \)
\( \text{Área} = \sqrt{633.25 \times 388.25 \times 201.25 \times 43.75} \approx 46526 \text{ ft}^2 \)
Área del triángulo ACB = \( \frac{1}{2} \times 400 \times 800 \times \sin45^\circ \approx 113137 \text{ ft}^2 \)
Área total \( \approx 46526 + 113137 = 158663 \text{ ft}^2 \)