Resolver un Triángulo Dado su Perímetro, Altura y Ángulo
En este tutorial, resolvemos triángulos encontrando todos los lados cuando se conocen el perímetro, una altura y un ángulo.
Problema 1: Resolver un Triángulo Dado su Perímetro
El triángulo \(ABC\) tiene un perímetro de \(100\) unidades. La altura correspondiente al lado \(a\) tiene una longitud \(h = 18\) unidades, y el ángulo en el vértice \(A\) es \(56^\circ\). Encuentra las longitudes de todos los lados.
Solución
- El perímetro da la ecuación \[ a + b + c = p \tag{1} \]
- El área del triángulo usando los lados \(b\) y \(c\) es \[ \text{Área} = \frac{1}{2} b c \sin A \]
- El área usando la base \(a\) y la altura \(h\) es \[ \text{Área} = \frac{1}{2} h a \]
- Igualando las dos expresiones para el área: \[ b c \sin A = h a \tag{2} \]
- Usando la ley del coseno: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A \tag{3} \]
- De la ecuación (1): \[ a = p - (b + c) \]
- Sustituir en la ecuación (3): \[ (p - (b + c))^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A \]
- Después de simplificar: \[ p^2 + 2 b c - 2 p (b + c) = -2 b c \cos A \tag{4} \]
- Sustituir \(a = p - (b + c)\) en la ecuación (2): \[ b c \sin A = h p - h (b + c) \tag{5} \]
- Sea \[ Z = b + c, \quad Y = b c \]
- Las ecuaciones (4) y (5) se convierten en: \[ p^2 + 2Y - 2pZ = -2Y \cos A \] \[ Y \sin A = hp - hZ \]
- Sustituir \(p = 100\), \(h = 18\), \(A = 56^\circ\): \[ -200Z + (2 + 2\cos 56^\circ)Y = -10000 \] \[ 18Z + Y \sin 56^\circ = 1800 \]
- Resolviendo da: \[ Z = 62.6456, \quad Y = 811.035 \]
- Entonces: \[ b + c = 62.6456, \quad b c = 811.035 \]
- Resolviendo la ecuación cuadrática: \[ b^2 - 62.6456 b + 811.035 = 0 \] da: \[ b = 44.3643 \quad \text{o} \quad b = 18.2812 \]
- Por lo tanto: \[ b = 44.3643,\quad c = 18.2812 \]
- Encuentra el lado \(a\) usando la ley del coseno: \[ a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos 56^\circ} \] \[ a = 37.3543 \text{ unidades} \]
Problema 2: Encontrar el Perímetro de un Triángulo Rectángulo
Encuentra el perímetro de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \(30\) cm y \(40\) cm.
Solución
Usando el teorema de Pitágoras: \[ h^2 = 30^2 + 40^2 \] \[ h = 50 \text{ cm} \]
El perímetro es: \[ P = 30 + 40 + 50 = 120 \text{ cm} \]
Problema 3: Encontrar el Perímetro de un Triángulo Isósceles
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales de \(10\) m y un ángulo incluido de \(30^\circ\). Encuentra su perímetro.
Solución
Usando la ley del coseno para encontrar la base \(x\): \[ x^2 = 10^2 + 10^2 - 2(10)(10)\cos 30^\circ \] \[ x \approx 5.18 \text{ m} \]
El perímetro es: \[ P = 10 + 10 + 5.18 = 25.18 \text{ m} \]
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