El eje diagonal \( AC \) y la segunda diagonal \( BD \) se intersecan en un ángulo de \( 90^{\circ} \).
Una cometa es un cuadrilátero con dos pares de lados adyacentes iguales en longitud. En el diagrama a continuación, los lados \( AB \) y \( AD \) tienen longitudes iguales y los lados \( CB \) y \( CD \) tienen longitudes iguales.
El eje diagonal \( AC \) y la segunda diagonal \( BD \) se intersecan en un ángulo de \( 90^{\circ} \).
Definimos la longitud de los segmentos \( AC \), \( BD \) y \( AO \) usando letras minúsculas de la siguiente manera: \( AC = e\), \( BD = f \) y \( AO = g \).
Ahora presentamos las fórmulas que se pueden usar para encontrar los lados, el área, el perímetro y los ángulos de la cometa.
Nótese que: \( OC = AC - AO = e - g\) y \( BO = OD = f/2 \).
Área del triángulo \( AOB = (1/2)(BO)(AO) = (1/4) f g \).
Área del triángulo \( BOC = (1/2)(BO)(CO) = (1/4) f (e-g) \).
Área del triángulo \( ABC = (1/4) f g + (1/4) f (e-g) = (1/4) f e \).
Área \( A \) de la Cometa: \[ \displaystyle A = 2 \times \text{Área del triángulo} ABC = \dfrac{f \cdot e}{2} \]
Usa el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo \( BOC \).
Lados \( a \) y \( b \): \[ \displaystyle a = b = \sqrt{ \left(\dfrac{f}{2}\right)^2 + (e-g)^2} \]
Usa el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo \( AOB \).
Lados \( c \) y \( d \): \[ \displaystyle d = c = \sqrt{ \left(\dfrac{f}{2}\right)^2 + g^2} \]
Perímetro: \( \displaystyle p = 2 a + 2 d \).
Usa el triángulo rectángulo \( AOB \) para escribir: \( \tan(\alpha / 2) = \dfrac{f/2}{g} \), lo que da
Ángulo \( \alpha \): \[ \displaystyle \alpha = 2 \arctan \left(\dfrac{f}{2g}\right) \]
Usa el triángulo rectángulo \( BOC \) para escribir: \( \tan(\gamma / 2) = \dfrac{f/2}{e-g} \), lo que da
Ángulo \( \gamma \): \[ \displaystyle \gamma = 2 \arctan \left(\dfrac{f}{2(e-g)}\right) \]
La suma de todos los ángulos en el triángulo \( ABC \) es igual a \( 180^{\circ} \), por lo tanto
Ángulo \( \beta \): \[ \displaystyle \beta = 180 - \dfrac{\gamma}{2} - \dfrac{\alpha}{2} \]
Se incluye una calculadora de cometas que se puede usar para verificar las respuestas de los cálculos.
Pregunta 1
Calcula los lados \( a \) y \( d \), el área, el perímetro y los ángulos \( \alpha, \beta \) y \( \gamma \) de una cometa con el eje diagonal de \( 0.8 \) metros, la segunda diagonal \( 0.40 \) metros y la distancia \( AO \) de \( 0.2 \) metros.
Solución
Dado: \( e = 0.8 \), \( f = 0.4\) y \( g = 0.2\).
Área: \( \displaystyle A = \dfrac{f \cdot e}{2} = \dfrac{0.4 \cdot 0.8}{2} = 0.16 \) metros cuadrados.
Lados: \( \displaystyle a = b = \sqrt{ \left(\dfrac{f}{2}\right)^2 + (e-g)^2} = \sqrt{ \left(\dfrac{0.4}{2}\right)^2 + (0.8-0.2)^2} \approx 0.63 \) metros.
Lados: \( \displaystyle d = c = \sqrt{ \left(\dfrac{f}{2}\right)^2 + g^2} = \sqrt{ \left(\dfrac{0.4}{2}\right)^2 + 0.2^2} \approx 0.28 \) metros.
Perímetro: \( \displaystyle p = 2 a + 2 d = 2 \cdot 0.63 + 2 \cdot 0.28 \approx 1.82 \) metros (Nota: 2*0.63 + 2*0.28 = 1.26 + 0.56 = 1.82, se corrigió el valor original 1.92 que parecía usar 0.68 para a).
Ángulo: \( \displaystyle \alpha = 2 \arctan \left(\dfrac{f}{2g}\right) = 2 \arctan \left(\dfrac{0.4}{2\cdot0.2}\right) = 90^{\circ}\).
Ángulo: \( \displaystyle \gamma = 2 \arctan \left(\dfrac{f}{2(e-g)}\right) = 2 \arctan \left(\dfrac{0.4}{2(0.8-0.2)}\right) = 36.87^{\circ}\).
Ángulo: \( \displaystyle \beta = 180 - \dfrac{\gamma}{2} - \dfrac{\alpha}{2} = 180 - \dfrac{36.87}{2} - \dfrac{90}{2} = 116.57^{\circ} \).
Pregunta 2
Calcula los lados \( a \) y \( d \), los ángulos \( \beta \), \( \gamma \), el área y el perímetro de una cometa con el eje diagonal de \( e = 1.5 \) metros, la segunda diagonal \( f = 0.50 \) metros y el ángulo \( \alpha = 30^{\circ} \).
Solución
Usa el triángulo \( AOB \) para escribir: \( \sin(\alpha/2) = \dfrac{f/2}{d} \).
Lo anterior da: \( d = \dfrac{f/2}{\sin(\alpha/2)} = \dfrac{0.5/2}{\sin(15^{\circ})} = 0.97 \) metros.
Usa el triángulo \( AOB \) para escribir: \( \tan(\alpha/2) = \dfrac{f/2}{OA} \).
Lo anterior da: \( g = OA = \dfrac{f/2}{\tan(\alpha/2)} = \dfrac{0.5/2}{\tan(15^{\circ})} = 0.933 \) metros.
Usa el triángulo \( BOC \) para escribir: \( \tan(\gamma/2) = \dfrac{f/2}{AC-AO} = \dfrac{0.5/2}{1.5 - 0.933} = 0.44091\).
Lo anterior da: \( \gamma = 2 \arctan(0.44091) = 47.59^{\circ} \).
Lado: \( a = \sqrt { (1.5 - 0.933)^2 + (0.5/2)^2} = 0.63 \) metros.
Ángulo: \( \displaystyle \beta = 180 - \dfrac{\gamma}{2} - \dfrac{\alpha}{2} = 180 - \dfrac{47.59}{2} - \dfrac{30}{2} = 141.21^{\circ} \).
Perímetro: \( \displaystyle p = 2 a + 2 d = 2 \cdot 0.63 + 2 \cdot 0.97 \approx 3.2 \) metros.
Área: \( \displaystyle A = \dfrac{f \cdot e}{2} = \dfrac{0.5 \cdot 1.5}{2} = 0.375 \) metros cuadrados.
Pregunta 3
Dada la segunda diagonal \( f = 0.60 \) metros y los ángulos \( \alpha = 30^{\circ} \) y \( \beta = 120^{\circ} \), calcula las longitudes del eje diagonal \( AC = e\), la segunda diagonal \( BD = f \) y el ángulo \( \gamma \).
Solución
Usa el triángulo \( AOB \) para escribir: \( \tan(\alpha/2) = \dfrac{f/2}{OA} \).
Lo que da: \(OA = g = \dfrac{f/2}{\tan(\alpha/2)} = \dfrac{0.60/2}{\tan(15^{\circ})} = 1.12 \) metros.
Usa el triángulo \( ABC \) para escribir: \( \alpha / 2 + \gamma /2 + \beta = 180^{\circ} \).
Por lo tanto: \( \gamma = 2(180 - \alpha / 2 - \beta) = 2(180 - 15 - 120) = 90^{\circ} \).
Usa el triángulo \( BOC \) para escribir: \( \tan(\gamma / 2) = \dfrac{BO}{OC} \).
Lo que da: \( OC = e - g = \dfrac{BO}{\tan(\gamma / 2)} = \dfrac{0.6/2}{\tan(45^{\circ})} = 0.3 \) metros.
Por lo tanto: \( e = 0.3 + g = 0.3 + 1.12 = 1.42 \) metros.