Calculadora y solucionador de líneas concurrentes

Calculadora en línea para averiguar si tres líneas dadas \( L_1 \), \( L_2 \) y \( L_3 \) son concurrentes, es decir, todos pasan por el mismo punto.

Solución analítica al problema de líneas concurrentes

Encuentre, si lo hay, el punto de intersección de tres líneas.
Sean las tres rectas dadas por las ecuaciones:
\( L_1: \quad a_1 x + b_1 y = c_1 \)
\( L_2: \quad a_2 x + b_2 y = c_2 \)
\( L_3: \quad a_3 x + b_3 y = c_3 \)

Encuentre el punto de intersección, si lo hay, de las líneas \( L_1 \) y \( L_2 \) resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondiente a estas dos líneas.
\(\quad a_1 x + b_1 y = c_1 \)
\(\quad a_2 x + b_2 y = c_2 \)

Usando la regla de Cramer (determinantes), \( x \) y \( y \ ) las coordenadas del punto de intersección de las líneas \( L_1 \) y \( L_2 \) están dadas por:

\( x_0 = \dfrac{ \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \quad \) , \( \quad y_0 = \dfrac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \)

A continuación debemos comprobar que el punto \( x_0, y_0 \) está en la recta \( L_3 \) comprobando que la ecuación \( a_3 x_0 + b_3 y_0 = c_3 \) se cumple.

Ejemplo
Deje que las líneas dadas por las ecuaciones: (estos son los valores predeterminados que se muestran en la calculadora a continuación cuando abre la página por primera vez)
\( L_1: \quad 2 x + y = -1 \)
\( L_2: \quad 3 x + 2 y = -1 \)
\( L_1: \quad -3 x + 4 y = 7 \)

Utilice la regla de Cramer para encontrar el punto de intersección de las líneas \( L_1 \) y \( L_2 \)

\( x_0 = \dfrac{ \begin{vmatrix} -1 & 1\\ -1 & 2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = -1 \quad \) , \( \quad y_0 = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 3 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = 1\)

Compruebe si \( L_3 \) pasa por el punto de intersección \( (-1 , 1) \) encontrado arriba sustituyendo \( x \) por \( -1 \) y \( y \) por \( 1 \ ) en la ecuación de la recta \( L_3 \)
\( -3 (x_0) + 4 (y_0) = -3 (-1) + 4 (1) = 7 \)
Por lo tanto, los lados derecho e izquierdo de la ecuación \( L_3 \) son iguales y, por lo tanto, las tres líneas son concurrentes en el punto \( (-1, 1) \).

Usar calculadora y solucionador de líneas concurrentes

Resultados

Actividades

Verifique analíticamente y usando la calculadora anterior que las siguientes líneas sean concurrentes y encuentre su punto de intersección.
a) \( L_1: \quad - 2 x + 7y = 11 \) ,   \( L_2: \quad 3 x + 7 y = 1 \) ,   \( L_3: \quad 6 x - y = -13\)
b) \( L_1: \quad -7 x + y = -32 \) ,   \( L_2: \quad -2 x + y = -12 \) ,   \( L_3: \quad x - 7y =32\)
c) \( L_1: \quad - x - 2y = 3 \) ,   \( L_2: \quad y = -2\) ,   \( L_3: \quad 3x - 4y = 11\)

Más referencias y enlaces