La ecuación general de una línea en un plano x-y bidimensional se puede escribir como
\[ a x + b y = c \]
Los coeficientes \( a, b \) y \( c \) determinan las propiedades de la línea y dan información sobre si la línea es horizontal, vertical o ninguna de las dos (inclinada); y también las intersecciones x e y de la línea.
Ejemplo 1
a) Encuentre cuatro pares ordenados que sean soluciones de la ecuación lineal en dos variables dada por: \( \quad y + 2x = 1 \)
b) Grafique los pares ordenados encontrados en el inciso a) anterior y sume los puntos obtenidos.
Solución al ejemplo 1
a)
Debido a que la ecuación dada \( y + 2 x = 1 \) tiene dos variables \( x \) y \( y \), tiene un número infinito de pares ordenados de soluciones \( (x,y) \) que pueden ser se encuentra dando un valor a una de las dos variables y hallando el valor de la segunda variable.
1) Sea \( x = 2 \) y sustitúyalo en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( y + 2 \times 2 = 1 \)
Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.
\( y + 4 = 1 \)
Resuelva para \( y\) : \( y = 1 - 4 = - 3\), por lo tanto, el par ordenado \( \color{red}{(2,-3)} \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1\) .
2) Sea \( x = -1 \) y sustituya en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( y + 2 \times (-1) = 1 \)
Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.
\( y - 2 = 1 \)
Resuelva para \( y\) : \( y = 1 + 2 = 3\), por lo tanto, el par ordenado \( \color{red}{(-1,3)} \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1\)
3) Sea \( y = 5\) y sustituya en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( 5 + 2 x = 1 \)
Resuelva para \( x\) : \( 2x = 1 - 5 = - 4\) lo que da \( x = - 2 \) , de ahí el par ordenado \( \color{red}{(-2,5)} \) es una solución a la ecuación \( y + 2x = 1 \)
4) Sea \( y = -1\) y sustituya en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( -1 + 2 x = 1 \)
Resuelva para \( x\) : \( 2x = 1 - (-1) = 2\) lo que da \( x = 1 \) , de ahí el par ordenado \( \color{red}{(1,-1) } \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1 \)
Podemos continuar y encontrar tantos pares ordenados como queramos. Aquí hay algunos pares más ordenados que son soluciones de la ecuación \( y + 2x = 1 \):
\( \color{rojo}{(0,1) , (1/2 , 0) , (3 , - 5) , (-1/2 , 2) ....} \)
Tenga en cuenta que puede comprobar que todos los pares ordenados obtenidos anteriormente son soluciones de la ecuación dada por sustitución.
b)
Ahora trazamos los pares ordenados encontrados en el inciso a) y sumamos los puntos obtenidos. La gráfica que se obtiene al unir los puntos es una recta inclinada.
Conclusión
La gráfica de cualquier ecuación de la forma \( \; ax + by = c \; \) es una recta.
Líneas horizontales: \( a = 0 \)
Si el coeficiente \( a \) en la ecuación lineal \( ax + by = c \) es igual a cero, la ecuación se convierte en:
\( 0 x + b y = c \) o \( b y = c \)
Divida todos los términos de la ecuación por \( b \) para obtener
\(y = c / b = B\)
Los pares ordenados que son soluciones de la ecuación anterior \(y = B\) son de la forma
\[ (k , B) \]
donde \( k \) es cualquier número real.
Los pares ordenados \( (k , B) \) forman una línea horizontal. Por tanto, la gráfica de una ecuación de la forma \( y = B \) es una recta horizontal.
Ejemplo 2
a) Encuentre cuatro pares ordenados que sean soluciones de la ecuación lineal \( \quad y = 3 \) de una recta en un plano bidimensional.
b) Grafique los pares ordenados encontrados en el inciso a) anterior y sume los puntos obtenidos.
c) Da dos ejemplos más de líneas horizontales.
Solución al ejemplo 2
a)
La ecuación dada de una línea en un plano bidimensional se puede escribir como
\[ 0 x + \quad y = 3 \]
Por lo tanto, cualquier par ordenado de la forma \( (k , 3) \) es una solución a la ecuación dada \( \quad y = 3 \)
Algunos pares ordenados que son soluciones: \( (0, 3) , (-2,3) , (3,3) , (4,3) , (-4,3) ...\)
b) Los pares ordenados enumerados en la parte a) se trazan en el siguiente gráfico y se unen. La gráfica que se obtiene al unir los puntos es una recta horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a 3.
c) Más ejemplos de líneas horizontales:
\( y = -3 \) esta es la ecuación de una línea horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a \( -3 \).
\( y = 0 \) esta es la ecuación de una línea horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a \( 0 \) (eje x).
Líneas verticales: \( b = 0 \)
Si el coeficiente \( b \) en la ecuación lineal \( ax + by = c \) es igual a cero, la ecuación se convierte en:
\( a x + 0 y = c \) o \( a x = c \)
Divida todos los términos de la ecuación por \( a \) para obtener
\(x = c / a = A\)
Los pares ordenados que son soluciones de la ecuación anterior \(x = A\) son de la forma
\[ (A , k) \]
donde \( k \) es cualquier número real.
Los pares ordenados \( (A , k) \) forman una línea vertical. Por tanto, la gráfica de una ecuación de la forma \( y = A\) es una recta vertical.
Ejemplo 3
a) Encuentre cuatro pares ordenados que sean soluciones de la ecuación lineal \( \quad x = - 2 \) de una recta en un plano bidimensional.
b) Grafique los pares ordenados encontrados en el inciso a) anterior y sume los puntos obtenidos.
c) Da dos ejemplos más de líneas horizontales.
Solución al ejemplo 3
a)
La ecuación dada de una línea en un plano bidimensional se puede escribir como
\[ x + 0 y = - 2 \]
Por lo tanto, cualquier par ordenado de la forma \( (-2 , k) \) es una solución a la ecuación dada \( \quad x = - 2 \)
Algunos pares ordenados que son soluciones: \( (-2, 3) , (-2,-3) , (-2,1) , (-2,0) , (-2,-1) ...\)
b) Los pares ordenados enumerados en la parte a) se trazan en el siguiente gráfico y se unen. La gráfica que se obtiene al unir los puntos es una recta vertical que pasa por todos los puntos con coordenada x igual a -2.
c) Más ejemplos de líneas verticales:
\( x = 3 \) esta es la ecuación de una línea vertical que pasa por todos los puntos con coordenada x igual a 3.
\( x = 0 \) esta es la ecuación de una línea vertical que pasa por todos los puntos con coordenada x igual a 0 (eje y).
Intersecciones x e y de la gráfica de una recta
Ahora exploramos las intersecciones x e y de las ecuaciones generales de rectas con ecuaciones
\[ a x + b y = c \]
donde ni \( a \) ni \( b \) son iguales a cero.
La intersección \( x \) se encuentra estableciendo \( y = 0 \) en la ecuación anterior y resolviendo para \( x \).
\( hacha + b(0) = c \)
Resuelva la ecuación anterior para \( x \) para obtener
\( x = c/a \)
Por lo tanto, la intersección \( x \) está en el punto \( (c / a , 0) \).
La intersección y se encuentra estableciendo \( x = 0 \) en la ecuación anterior y resolviendo para x.
\( a(0) + por = c \)
Resuelva la ecuación anterior para \( y \) para obtener
\( y = c/b \)
Por lo tanto, la intersección \( y \) está en el punto \( (0 , c/b) \).
Ejemplo 4
Encuentra las intersecciones x e y de la gráfica de la ecuación dada por
a) \( 2 x - y = 2 \)
b) \( 4 x + 2 y = 0 \)
Solución al ejemplo 4
a) La intersección x de \( 2 x - y = 2 \) se encuentra estableciendo \( y \) en 0.
\( 2 x - 0 = 2 \)
Resuelva \( 2 x = 2 \), lo que da \( x = 1 \).
La intersección x está en \( (1 , 0) \).
La intersección y de \( 2 x - y = 2 \) se encuentra estableciendo \( x \) en 0.
\( 2 (0) - y = 2 \)
Resuelva\( - y = 2 \) , lo que da \( y = - 2 \).
La intersección y está en \( (0 , -2) \).
b) La intercepción de x se encuentra estableciendo \( y = 0 \) y resolviendo \( - 4 x = 0 \) , lo que da \( x = 0 \).
La intercepción x está en (0, 0).
La intercepción y se encuentra estableciendo \( x = 0 \) y resolviendo \( 2 y = 0 \), lo que da \( y = 0 \).
La intercepción y está en \( (0 , 0) \).
De hecho, cualquier ecuación de la forma \( a x + b y = 0 \) tiene intersecciones xey en el origen \( (0,0) \).
