Ecuación General de una Recta: \( ax + by = c \)
La ecuación general de una recta en un plano bidimensional x-y puede escribirse como
\[ a x + b y = c \]
Los coeficientes \( a, b \) y \( c \) determinan las propiedades de la recta y proporcionan información sobre si la recta es horizontal, vertical o ninguna de las dos (inclinada); así como las intersecciones con los ejes x e y de la recta.
Ejemplo 1
a) Encuentre cuatro pares ordenados que sean soluciones de la ecuación lineal en dos variables dada por: \( \quad y + 2x = 1 \)
b) Grafique los pares ordenados encontrados en la parte a) anterior y una los puntos obtenidos.
Solución al Ejemplo 1
a)
Debido a que la ecuación dada \( y + 2 x = 1 \) tiene dos variables \( x \) y \( y \), tiene un número infinito de pares ordenados solución \( (x,y) \) que se pueden encontrar asignando un valor a una de las dos variables y encontrando el valor de la segunda variable.
1) sea \( x = 2 \) y sustitúyalo en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( y + 2 \times 2 = 1 \)
Simplifique el lado izquierdo de la ecuación
\( y + 4 = 1 \)
Resuelva para \( y\) : \( y = 1 - 4 = - 3\), por lo tanto, el par ordenado \( \color{red}{(2,-3)} \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1 \) .
2) sea \( x = -1 \) y sustitúyalo en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( y + 2 \times (-1) = 1 \)
Simplifique el lado izquierdo de la ecuación
\( y - 2 = 1 \)
Resuelva para \( y\) : \( y = 1 + 2 = 3\), por lo tanto, el par ordenado \( \color{red}{(-1,3)} \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1 \)
3) sea \( y = 5\) y sustitúyalo en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( 5 + 2 x = 1 \)
Resuelva para \( x\) : \( 2x = 1 - 5 = - 4\) lo que da \( x = - 2 \) , por lo tanto, el par ordenado \( \color{red}{(-2,5)} \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1 \)
4) sea \( y = -1\) y sustitúyalo en la ecuación dada \( y + 2x = 1 \) para obtener \( -1 + 2 x = 1 \)
Resuelva para \( x\) : \( 2x = 1 - (-1) = 2\) lo que da \( x = 1 \) , por lo tanto, el par ordenado \( \color{red}{(1,-1)} \) es una solución de la ecuación \( y + 2x = 1 \)
Podemos continuar y encontrar tantos pares ordenados como queramos. Aquí hay algunos pares ordenados más que son soluciones de la ecuación \( y + 2x = 1 \):
\( \color{red}{(0,1) , (1/2 , 0) , (3 , - 5) , (-1/2 , 2) ....} \)
Nota que puede verificar que todos los pares ordenados obtenidos anteriormente son soluciones de la ecuación dada mediante sustitución.
b)
Ahora graficamos los pares ordenados encontrados en la parte a) y unimos los puntos obtenidos. El gráfico obtenido al unir los puntos es una línea inclinada.
Conclusión
El gráfico de cualquier ecuación de la forma \( \; ax + by = c \; \) es una línea recta.
Líneas Horizontales : \( a = 0 \)
Si el coeficiente \( a \) en la ecuación lineal \( ax + by = c \) es igual a cero, la ecuación se convierte en:
\( 0 x + b y = c \) o \( b y = c \)
Divida todos los términos de la ecuación por \( b \) para obtener
\( y = c / b = B\)
Los pares ordenados que son soluciones de la ecuación anterior \( y = B\) son de la forma
\[ (k , B) \]
donde \( k \) es cualquier número real.
Los pares ordenados \( (k , B) \) forman una línea horizontal. Por lo tanto, el gráfico de una ecuación de la forma \( y = B \) es una línea horizontal.
Ejemplo 2
a) Encuentre cuatro pares ordenados que sean soluciones de la ecuación lineal \( \quad y = 3 \) de una recta en un plano bidimensional.
b) Grafique los pares ordenados encontrados en la parte a) anterior y una los puntos obtenidos.
c) Dé dos ejemplos más de líneas horizontales
Solución al Ejemplo 2
a)
La ecuación dada de una recta en un plano bidimensional puede escribirse como
\[ 0 x + \quad y = 3 \]
Por lo tanto, cualquier par ordenado de la forma \( (k , 3) \) es una solución de la ecuación dada \( \quad y = 3 \)
Algunos pares ordenados que son soluciones: \( (0, 3) , (-2,3) , (3,3) , (4,3) , (-4,3) ...\)
b)
Los pares ordenados enumerados en la parte a) se grafican en el siguiente gráfico y se unen. El gráfico obtenido al unir los puntos es una línea horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a 3.
c)
Más ejemplos de líneas horizontales:
\( y = -3 \) esta es la ecuación de una línea horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a \( -3 \).
\( y = 0 \) esta es la ecuación de una línea horizontal que pasa por todos los puntos con coordenada y igual a \( 0 \) (eje x).
Líneas Verticales : \( b = 0 \)
Si el coeficiente \( b \) en la ecuación lineal \( ax + by = c \) es igual a cero, la ecuación se convierte en:
\( a x + 0 y = c \) o \( a x = c \)
Divida todos los términos de la ecuación por \( a \) para obtener
\( x = c / a = A\)
Los pares ordenados que son soluciones de la ecuación anterior \( x = A\) son de la forma
\[ (A , k) \]
donde \( k \) es cualquier número real.
Los pares ordenados \( (A , k) \) forman una línea vertical. Por lo tanto, el gráfico de una ecuación de la forma \( x = A\) es una línea vertical.
Ejemplo 3
a) Encuentre cuatro pares ordenados que sean soluciones de la ecuación lineal \( \quad x = - 2 \) de una recta en un plano bidimensional.
b) Grafique los pares ordenados encontrados en la parte a) anterior y una los puntos obtenidos.
c) Dé dos ejemplos más de líneas verticales
Solución al Ejemplo 3
a)
La ecuación dada de una recta en un plano bidimensional puede escribirse como
\[ x + 0 y = - 2 \]
Por lo tanto, cualquier par ordenado de la forma \( (-2 , k) \) es una solución de la ecuación dada \( \quad x = - 2 \)
Algunos pares ordenados que son soluciones: \( (-2, 3) , (-2,-3) , (-2,1) , (-2,0) , (-2,-1) ...\)
b)
Los pares ordenados enumerados en la parte a) se grafican en el siguiente gráfico y se unen. El gráfico obtenido al unir los puntos es una línea vertical que pasa por todos los puntos con coordenada x igual a -2.
c)
Más ejemplos de líneas verticales:
\( x = 3 \) esta es la ecuación de una línea vertical que pasa por todos los puntos con coordenada x igual a 3.
\( x = 0 \) esta es la ecuación de una línea vertical que pasa por todos los puntos con coordenada x igual a 0 (eje y).
Intersecciones con los Ejes x e y del Gráfico de una Recta
Ahora exploramos las intersecciones con los ejes x e y de las ecuaciones generales de rectas con ecuaciones
\[ a x + b y = c \]
donde ni \( a \) ni \( b \) es igual a cero.
La intersección con el eje \( x \) se encuentra estableciendo \( y = 0 \) en la ecuación anterior y resolviendo para \( x \).
\( ax + b(0) = c \)
Resuelva la ecuación anterior para \( x \) para obtener
\( x = c/a \)
Por lo tanto, la intersección con el eje \( x \) está en el punto \( (c / a , 0) \).
La intersección con el eje \( y \) se encuentra estableciendo \( x = 0 \) en la ecuación anterior y resolviendo para \( y \).
\( a(0) + by = c \)
Resuelva la ecuación anterior para \( y \) para obtener
\( y = c/b \)
Por lo tanto, la intersección con el eje \( y \) está en el punto \( (0 , c/b) \).
Ejemplo 4
Encuentre las intersecciones con los ejes x e y del gráfico de la ecuación dada por
a) \( 2 x - y = 2 \)
b) \( 4 x + 2 y = 0 \)
Solución al Ejemplo 4
a) La intersección con el eje x de \( 2 x - y = 2 \) se encuentra estableciendo \( y \) en 0.
\( 2 x - 0 = 2 \)
Resuelva \( 2 x = 2 \), lo que da \( x = 1 \).
La intersección con el eje x está en \( (1 , 0) \).
La intersección con el eje y de \( 2 x - y = 2 \) se encuentra estableciendo \( x \) en 0.
\( 2 (0) - y = 2 \)
Resuelva\( - y = 2 \) , lo que da \( y = - 2 \).
La intersección con el eje y está en \( (0 , -2) \).
b)
La intersección con el eje x se encuentra estableciendo \( y = 0 \) y resolviendo \( - 4 x = 0 \) , lo que da \( x = 0 \).
La intersección con el eje x está en (0 , 0).
La intersección con el eje y se encuentra estableciendo \( x = 0 \) y resolviendo \( 2 y = 0 \), lo que da \( y = 0 \).
La intersección con el eje y está en \( (0 , 0) \).
De hecho, cualquier ecuación de la forma \( a x + b y = 0 \) tiene intersecciones con los ejes x e y en el origen \( (0,0) \).
Más Referencias y Enlaces
Forma Pendiente-Intersección de una Recta
Ecuaciones de una Recta que Pasa por Dos Puntos, Paralela y Perpendicular.
Pendiente de una Recta
Calculadora fácil de usar para encontrar la pendiente y la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.Calculadora de Dos Puntos
Otra calculadora para encontrar la pendiente, las intersecciones con los ejes x e y dada la ecuación de una recta.Encontrar Pendiente e Intersecciones de una Recta - Calculadora
Encontrar una Recta Paralela que Pasa por un Punto: Encuentre una recta que sea paralela a otra recta y pase por un punto dado.
Encontrar una Recta Perpendicular que Pasa por un Punto: Encuentre una recta que sea perpendicular a otra recta y pase por un punto dado.
Emparejar Ecuaciones Lineales con sus Gráficas