Calculadora de Intersección Línea-Plano y Ángulo en 3D

Intersección de plano y línea en 3D — Figura 1. La intersección de un plano y una línea

Fórmulas Matemáticas

Línea en 3D (forma paramétrica):

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t\mathbf{v} = (x_0, y_0, z_0) + t(l, m, n) \]

donde \((l, m, n)\) son los números directores de la línea.

Ecuación del plano \( P \):

\[ ax + by + cz = d \]

Punto de intersección: Sustituye la línea en la ecuación del plano y resuelve para \(t\):

\[ t = \frac{d - (ax_0 + by_0 + cz_0)}{a\cdot l + b\cdot m + c\cdot n} \] \[ \text{Punto de intersección: } (x_0 + t\cdot l,\; y_0 + t\cdot m,\; z_0 + t\cdot n) \]

Ángulo entre línea y plano:

\[ \phi = \arcsin\left(\frac{|a\cdot l + b\cdot m + c\cdot n|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\right) \]

donde \(\phi\) es el ángulo entre la línea y su proyección sobre el plano.

Ángulo entre línea y normal al plano P: \(\theta = 90° - \phi\)

Intersección Línea-Plano

Encuentra el punto de intersección y el ángulo entre una línea y un plano en el espacio 3D

Formato de entrada de la línea:

Punto A (x₁, y₁, z₁)

x₁

y₁

z₁

Punto B (x₂, y₂, z₂)

x₂

y₂

z₂

Punto P₀ (x₀, y₀, z₀)

x₀

y₀

z₀

Vector Director v = (l, m, n)

Punto (x₀, y₀, z₀)

x₀

y₀

z₀

Números directores (l, m, n) de (x-x₀)/l = (y-y₀)/m = (z-z₀)/n

Nota: l, m, n son los números directores (denominadores) en la forma simétrica

Plano: a·x + b·y + c·z = d

Decimales

Punto de Intersección --

Ángulo (Línea y Plano) φ -- °

Ángulo (Línea y Normal) θ -- °

Acerca de los Cálculos

Formas de la Línea

Dos Puntos: Línea que pasa por los puntos A y B: \( \vec{v} = B - A \)
Paramétrica: \(P_0 + t\cdot\vec{v}\) donde \(\vec{v} = (l, m, n)\) es el vector director
Simétrica: \(\dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m} = \dfrac{z - z_0}{n}\) donde \((l, m, n)\) son los números directores

Casos de Intersección

Línea intersecta el plano: Punto de intersección único cuando \( \vec{n} \cdot \vec{v} \neq 0 \)
Línea paralela al plano: Sin intersección cuando \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) y el punto no está en el plano
Línea contenida en el plano: Infinitos puntos de intersección cuando \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) y el punto satisface la ecuación del plano

Ángulos

φ (fi): Ángulo entre la línea y su proyección sobre el plano (\(0° \leq \phi \leq 90°\))
θ (theta): Ángulo entre la línea y el vector normal del plano (complementario de φ)

Nota: \(\phi + \theta = 90°\)