Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas utilizando propiedades fundamentales. Cada ejemplo incluye una solución detallada y, cuando es apropiado, un paso de verificación. Antes de comenzar, se recomienda encarecidamente revisar las reglas de los logaritmos y exponenciales.

Propiedades y reglas de los logaritmos y exponenciales

Las siguientes reglas se utilizarán a lo largo de este tutorial:

  1. \(\log_b(UV) = \log_b U + \log_b V\)
  2. \(\log_b\!\left(\frac{U}{V}\right) = \log_b U - \log_b V\)
  3. \(\log_b(U^r) = r\log_b U\)
  4. \(\log_b(b^x) = x\)
  5. \(b^{\log_b x} = x \quad (x>0)\)
  6. \(\log_b U = \log_b V \iff U = V\)
  7. \(a^x a^y = a^{x+y}\)
  8. \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)

Dado que las funciones logarítmicas y exponenciales con la misma base son inversas, tenemos la relación clave

\[ \log_b x = y \iff x = b^y \]

Esta propiedad inversa nos permite convertir ecuaciones logarítmicas en ecuaciones exponenciales y viceversa.

Ejemplos con soluciones

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación

\[ \ln(x) = 5 \]

Solución

Utilizando la relación inversa entre \(\ln\) y \(e^x\):

\[ x = e^5 \]

Verificación:

\[ \ln(e^5) = 5 \]

La solución es válida.

Ejemplo 2

Encuentra todas las soluciones reales de

\[ e^x = 6 \]

Solución

\[ x = \ln(6) \]

Verificación:

\[ e^{\ln(6)} = 6 \]

Ejemplo 3

Resuelve

\[ \ln(x) + \ln(2) = 3 \]

Solución

\[ \ln(2x) = 3 \] \[ 2x = e^3 \] \[ x = \frac{e^3}{2} \]

Ejemplo 4

Encuentra todas las soluciones reales de

\[ e^{3x} = -1 \]

Solución

La función exponencial tiene rango \((0,+\infty)\). Dado que el lado derecho es negativo, no hay soluciones reales.

Ejemplo 5

Resuelve y verifica

\[ \ln(x) + 2 = -3\ln(x) + 10 \]

Solución

\[ 4\ln(x) = 8 \] \[ \ln(x) = 2 \] \[ x = e^2 \]

Verificación:

\[ \ln(e^2) + 2 = 4 \] \[ -3\ln(e^2) + 10 = 4 \]

Ejemplo 6

Resuelve

\[ 2e^x + e^{-x} = 3 \]

Solución

Multiplica ambos lados por \(e^x\):

\[ 2e^{2x} + 1 = 3e^x \]

Sea \(u = e^x\):

\[ 2u^2 - 3u + 1 = 0 \] \[ u = 1 \quad \text{o} \quad u = \frac{1}{2} \]

Volviendo a \(x\):

\[ x = 0 \quad \text{o} \quad x = -\ln(2) \]

Ambas soluciones satisfacen la ecuación original.

Ejemplo 7

Resuelve

\[ \ln(x+1) + \ln(x) = \ln(2) \]

Solución

\[ \ln(x(x+1)) = \ln(2) \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{o} \quad x = -2 \]

Solo \(x=1\) es válida ya que los logaritmos requieren argumentos positivos.

Ejemplo 8

Resuelve

\[ \ln(x+1) - \ln(x) = 2 \]

Solución

\[ \ln\!\left(\frac{x+1}{x}\right) = 2 \] \[ \frac{x+1}{x} = e^2 \] \[ x = \frac{1}{e^2 - 1} \]

Ejemplo 9

Resuelve

\[ e^{2x}e^{3x} - 3 = 2 \]

Solución

\[ e^{5x} = 5 \] \[ x = \frac{\ln(5)}{5} \]

Ejemplo 10

Resuelve

\[ \ln(x^4) + \ln(x^2) - \ln(x^3) - 2 = 7 \]

Solución

\[ \ln(x^3) = 9 \] \[ x^3 = e^9 \] \[ x = e^3 \]

Más referencias