Reglas de Logaritmos y Exponenciales – Preguntas con Soluciones

Las reglas de las funciones logarítmicas y exponenciales se presentan a continuación. Su uso para simplificar expresiones y resolver ecuaciones se ilustra mediante ejemplos claros y soluciones completamente desarrolladas.

A lo largo de esta página, utilizamos la siguiente notación:

Reglas de las Funciones Logarítmicas

Sean \(U\) y \(V\) números reales positivos, y sea \(b > 0\), \(b \neq 1\).

  1. \( \log_b 1 = 0 \)
    Ejemplo: \( \log_5 1 = 0 \)
  2. \( \log_b(UV) = \log_b U + \log_b V \)
    Ejemplo: \( \log_2(4 \times 8) = \log_2 4 + \log_2 8 \)
  3. \( \log_b\!\left(\dfrac{U}{V}\right) = \log_b U - \log_b V \)
    Ejemplo: \( \log_2\!\left(\dfrac{8}{4}\right) = \log_2 8 - \log_2 4 \)
  4. \( \log_b(U^r) = r\log_b U \)
    Ejemplo: \( \log_3(9^2) = 2\log_3 9 \)
  5. \( \log_b(b^x) = x \)
    Ejemplo: \( \log_5(5^2) = 2 \)
  6. \( b^{\log_b x} = x, \; x > 0 \)
    Ejemplo: \( 2^{\log_2 5} = 5 \)
  7. \( \log_b U = \log_b V \iff U = V \)
    Ejemplo: \( \ln(x+1) = \ln(-x+4) \iff x+1 = -x+4 \)

Ejemplo 1

Simplifica las siguientes expresiones usando las reglas de los logaritmos:

  1. \( \log_9 1 \),
  2. \( \log_2(4 \times 16) \),
  3. \( \log_3\!\left(\dfrac{3}{27}\right) \),
  4. \( \log_4 4^6 \),
  5. \( \log_2 2^{x+1} \),
  6. \( e^{\ln(x^2+1)} \)

Solución

(a) \( \log_9 1 = 0 \)

(b) \[ \log_2(4 \times 16) = \log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 2^2 + \log_2 2^4 = 2 + 4 = 6 \]

(c) \[ \log_3\!\left(\dfrac{3}{27}\right) = \log_3 3 - \log_3 27 = 1 - 3 = -2 \]

(d) \( \log_4 4^6 = 6 \)

(e) \( \log_2 2^{x+1} = x+1 \)

(f) \( e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1 \)

Reglas de las Funciones Exponenciales

Sean \(x\) y \(y\) números reales y sea \(a > 0\).

  1. \( a^n = a \times a \times \cdots \times a \) (\(n\) veces)
    Ejemplo: \( 2^4 = 16 \)
  2. \( a^0 = 1 \)
    Ejemplo: \( 100^0 = 1 \)
  3. \( a^{-x} = \dfrac{1}{a^x} \)
    Ejemplo: \( 6^{-2} = \dfrac{1}{6^2} \)
  4. \( a^x a^y = a^{x+y} \)
    Ejemplo: \( 4^2 \cdot 4^3 = 4^5 \)
  5. \( \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \)
    Ejemplo: \( \dfrac{5^6}{5^4} = 5^2 \)
  6. \( (a^x)^y = a^{xy} \)
    Ejemplo: \( (7^2)^3 = 7^6 \)

Ejemplo 2


Usa las reglas de las funciones exponenciales para simplificar las siguientes expresiones
  1. \( 2^3 2^{-3} \)
  2. \( \dfrac{4^3 4^x}{4^{2x}} \)
  3. \( {(4^2)}^{2x} \)

Solución

  1. \( 2^3 2^{-3} = 2^{3-3} = 2^0 = 1 \) , usa las reglas 4 y 2.
  2. \( \dfrac{4^3 4^x}{4^{2x}} = \dfrac{4^{3+x}}{4^{2x}} = 4^{3+x-2x} = 4^{3-x} \) , usa las reglas 4 y 5.
  3. \( {(4^2)}^{2x} = 4^{ 2 \times 2x } = 4^{4x} = (4^4)^{x} = 256^x \) , usa la regla 6

Regla Inversa: Funciones Logarítmicas y Exponenciales

Las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas entre sí:

\[ \log_b x = y \iff x = b^y \]

Notas:

Ejemplo 3

Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica.

  1. \( 2^4 = 16 \),
  2. \( 3^3 = 27 \),
  3. \( e^5 = y \)

Solución

  1. \( \log_2 16 = 4 \)
  2. \( \log_3 27 = 3 \)
  3. \( \ln y = 5 \) (ya que \(y = e^5\))

Ejemplo 4

Escribe cada ecuación logarítmica en forma exponencial.

  1. \( \log_b 27 = x \),
  2. \( \log_{36} 6 = \tfrac12 \),
  3. \( \log_2\!\left(\tfrac18\right) = -3 \),
  4. \( \log_8 2 = \tfrac13 \)

Solución

  1. \( 27 = b^x \)
  2. \( 6 = 36^{1/2} \)
  3. \( \tfrac18 = 2^{-3} \)
  4. \( 2 = 8^{1/3} \)

Ejemplo 5

Resuelve la ecuación \( \log_3 x = 4 \).

Solución

\[ x = 3^4 = 81 \]

Ejemplo 6

Resuelve cada ecuación.

  1. \( \log_3 x = 5 \)
  2. \( \log_2(x-3) = 2 \)
  3. \( 2\log_3(-x+1) = 6 \)

Solución

  1. \( x = 3^5 \)
  2. \( x-3 = 2^2 = 4 \Rightarrow x = 7 \)
  3. \( \log_3(-x+1) = 3 \Rightarrow -x+1 = 27 \Rightarrow x = -26 \)

Más Referencias