Convertir Logaritmos y Exponenciales

Relación Entre Exponencial y Logaritmo

Las funciones logarítmicas Función Logarítmica y las funciones exponenciales Función Exponencial son inversas entre sí, por lo tanto
Equivalencia Logarítmica Exponencial
donde \( b \) es la base común del exponencial y el logaritmo.
La equivalencia anterior ayuda a resolver funciones logarítmicas y exponenciales y requiere una comprensión profunda. A continuación se presentan ejemplos de cómo la relación anterior entre el logaritmo y el exponencial puede ser utilizada para transformar expresiones y resolver problemas.


Ejemplo 1

Cambie cada expresión logarítmica a una expresión exponencial.
1. \( \log_3 27 = 3 \)
2. \( \log_{36} 6 = 1 / 2 \)
3. \( \log_2 (1 / 8) = -3 \)
4. \( \log_8 2 = 1 / 3 \)

Solución al Ejemplo 1:
1. La forma logarítmica \( \log_3 27 = 3 \) es equivalente a la forma exponencial \[ 27 = 3^3 \] 2. La expresión logarítmica \( \log_{36} 6 = 1 / 2 \) es equivalente a la expresión exponencial \[ 6 = 36^{1/2} \] 3. La expresión \( \log_2 (1 / 8) = - 3 \) en forma exponencial está dada por \[ 1 / 8 = 2^{-3} \] 4. \( \log_8 2 = 1 / 3 \) en forma exponencial está dada por \[ 2 = 8^{1/3} \]


Ejemplo 2

Cambie cada expresión exponencial a una expresión logarítmica.
1. \( 3^4 = 81 \)
2. \( 4^{1/2} = 2 \)
3. \( 3^{-3} = 1 / 27 \)
4. \( 10^3 = 1000 \)

Solución al Ejemplo 2:
1. La forma exponencial \( 3^4 = 81 \) es equivalente a la forma logarítmica \[ 4 = \log_3 (81) \] 2. La forma exponencial \( 4^{1/2} = 2 \) es equivalente a la forma logarítmica \[ 1 / 2 = \log_4 2 \] 3. \( 3^{-3} = 1 / 27 \) en forma logarítmica está dada por \[ -3 = \log_3 (1/ 27) \] 4. \( 10^3 = 1000 \) en forma logarítmica está dada por \[ 3 = \log_{10} 1000 \]

Ejemplo 3

Resuelva para \( x \) las siguientes ecuaciones.
1. \( \log_3 x = 5 \)
2. \( \log_2 (x - 3) = 2 \)
3. \( 2 \log_3 (- x + 1) = 6 \)

Solución al Ejemplo 3:
1. Para resolver la ecuación \( \log_3 x = 5 \), reescríbala en forma exponencial \[ x = 3^5 \] 2. Reescriba la ecuación \( \log_2 (x - 3) = 2 \) en forma exponencial \[ x - 3 = 2^2 = 4 \] Resuelva para \( x \) \[ x = 4 + 3 = 7 \] 3. Divida todos los términos de la ecuación \( 2 \log_3 (- x + 1) = 6 \) entre 2 \[ \log_3 (- x + 1) = 3 \] Reescriba la ecuación obtenida en forma exponencial \[ - x + 1 = 3^3 = 27 \] Resuelva para \( x \) \[ x = -26 \]


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