Función Secante (sec x)

Definición y Gráfica de la Función Secante

Sea el ángulo \( \theta \) en posición estándar con lado inicial en el eje x positivo y lado terminal OM como se muestra a continuación.

La función secante \( \sec(\theta) \) se define como:

\[ \sec(\theta) = \dfrac{r}{x} \] donde \( r = \sqrt{x^2+y^2} \).

Esta definición establece una relación directa entre \( \sec(\theta) \) y \( \cos(\theta) \):

\[ \sec(\theta) = \dfrac{r}{x} = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \].

Observaciones Clave

• Periodicidad: \( \sec(\theta+2\pi) = \sec(\theta) \), por lo tanto el período es \( 2\pi \).
• Función Par: \( \sec(-\theta) = \sec(\theta) \), lo que hace que la gráfica sea simétrica respecto al eje y.

Usando el círculo unitario, podemos encontrar \( \cos(\theta) \) y por ende \( \sec(\theta) \) en un período \( [0, 2\pi] \):

Valores en Ángulos Cuadrantales

Comportamiento Cerca de las Asíntotas

Cuando \( \theta \) se aproxima a \( \frac{\pi}{2} \) por la izquierda:

Cuando \( \theta \) se aproxima a \( \frac{\pi}{2} \) por la derecha:

Usando límites:

• \[ \lim_{\theta \to (\pi/2)^-} \sec(\theta) = \infty \]
• \[ \lim_{\theta \to (\pi/2)^+} \sec(\theta) = -\infty \]

Este comportamiento ocurre en todas las \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), donde \( n \) es cualquier entero.

Gráfica de \( y = \sec(x) \)

Nota: Las asíntotas verticales (líneas discontinuas) ocurren en los ceros de \( \cos(x) \).

Propiedades de sec x

1. Período: \( 2\pi \)
2. Asíntotas Verticales: \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), \( n \in \mathbb{Z} \)
3. Dominio: Todos los números reales excepto \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), \( n \in \mathbb{Z} \)
4. Rango: \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)
5. Simetría: Función par (simétrica respecto al eje y)

Tutorial Interactivo: Forma General \( f(x) = a \sec(bx + c) + d \)

Explora cómo los parámetros afectan la gráfica:

• Período: \( \dfrac{2\pi}{|b|} \)
• Desplazamiento de Fase: \( -\dfrac{c}{b} \)

Preguntas de Exploración

1. Establece a=1, b=1, c=0, d=0. Observa el período y las asíntotas. ¿Cómo afecta el cambio de 'a' al rango?
2. Establece a=1, c=0, d=0 y varía b. Compara el período de la gráfica con \( \frac{2\pi}{|b|} \).
3. Establece a=1, b=1, d=0 y aumenta c desde 0. Observa la dirección del desplazamiento de fase y compárala con \( -\frac{c}{b} \).
4. Repite con valores negativos de c.
5. Prueba con b=2, 3, 4.
6. Establece a, b, c distintos de cero y varía d. ¿Qué desplazamiento ocurre?
7. ¿Qué parámetros afectan la posición de las asíntotas? Explica analíticamente.
8. ¿Qué parámetros afectan el dominio? Explica analíticamente.
9. ¿Qué parámetros afectan el rango? Explica analíticamente.

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