Esta página presenta una colección de problemas de trigonometría de triángulos rectángulos resueltos utilizando las seis razones trigonométricas. Cada problema incluye un razonamiento claro y soluciones paso a paso.
En un triángulo rectángulo, las seis razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Dado el triángulo rectángulo de abajo, encuentra \(\sin A\), \(\cos A\), \(\tan A\), \(\sec A\), \(\csc A\) y \(\cot A\).
Primero, encuentra la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras:
\[ c^2 = 8^2 + 6^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad c^2 = 100 \quad \Rightarrow c = \sqrt{100} = 10 \]Ahora aplica las razones trigonométricas:
\[ \sin A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \] \[ \cos A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] \[ \tan A = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] \[ \sec A = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ \csc A = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \] \[ \cot A = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]Encuentra la longitud de la hipotenusa \(c\).
Usando la razón seno:
\[ \sin 31^\circ = \frac{5.12}{c} \]Despejando \(c\):
\[ c = \frac{5.12}{\sin 31^\circ} \approx 9.94 \]Si \(x\) es un ángulo agudo y \(\sin x = \frac{3}{7}\), encuentra los valores exactos de \(\cos x\) y \(\cot x\).
Sea cateto opuesto \(= 3\) e hipotenusa \(= 7\). Encuentra el cateto adyacente:
El teorema de Pitágoras da: \[ 7^2 = a^2 + 3^2 \Rightarrow a = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] \[ \cos x = \frac{2\sqrt{10}}{7} \quad\quad \cot x = \frac{2\sqrt{10}}{3} \]Encuentra los valores exactos de \(x\) y \(y\).
Si \(\tan x = 5\), encuentra los valores exactos de \(\sin x\) y \(\cos x\).
Comienza con: \(\tan x = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}} = \dfrac{5}{1}\)
Sea cateto opuesto \(= 5\) y cateto adyacente \(= 1\).
\[ \text{hipotenusa} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} \] \[ \sin x = \frac{5}{\sqrt{26}} \quad\quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{26}} \]Un ángulo agudo \( \theta \) de un triángulo rectángulo satisface \[ \sin \theta + \cos \theta = \frac{7}{5}. \] Encuentra los valores exactos de \( \sin \theta \) y \( \cos \theta \).
Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación dada \[ (\sin \theta + \cos \theta )^2 = \left(\frac{7}{5} \right)^2. \]
Usa la identidad \[ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta. \]
y la identidad pitagórica \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), obtenemos
\[ \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta \] \[ \frac{49}{25} = 1 + 2\sin \theta \cos \theta \] \[ 2\sin \theta \cos \theta = \frac{24}{25} \] \[ \sin \theta \cos \theta = \frac{12}{25} \]Ahora tenemos el sistema:
\[ \sin \theta + \cos \theta = \frac{7}{5} \] \[ \sin \theta \cos \theta = \frac{12}{25} \]Estas son la suma y el producto de dos números positivos. Sea \( x = \sin \theta \) y \( y = \cos \theta \).
\[ x+ y = \frac{7}{5} \quad (1) \] \[ x \cdot y = \frac{12}{25} \quad (2) \] Resuelve la ecuación (1) para \( y \) \[ y = \frac{7}{5} - x \] Sustituye en la ecuación (2) \[ x \cdot \left(\frac{7}{5} - x \right) = \frac{12}{25} \quad (2) \] Reorganiza para escribir \[ x^2 - \frac{7}{5}x + \frac{12}{25} = 0 \]Multiplica por 25:
\[ 25x^2 - 35x + 12 = 0 \]Factoriza:
\[ (5x - 3)(5x - 4) = 0 \] \[ x = \frac{3}{5} \quad \text{o} \quad x = \frac{4}{5} \]Dado que \( \theta \) es agudo, tanto el seno como el coseno son positivos y usando la ecuación \( x \cdot y = \frac{12}{25} \), obtenemos:
\[ \boxed{ x = \sin \theta = \frac{3}{5}, \quad y = \cos \theta = \frac{4}{5}} \] o (dependiendo de la orientación del triángulo) \[ \boxed{ x = \sin \theta = \frac{4}{5}, \quad y = \cos \theta = \frac{3}{5}} \]