Triángulos Rectángulos Especiales

\( \qquad h^2 = a^2 + a^2 \)
Simplificamos y resolvemos para \( h \)
\( \qquad h^2 = 2 a^2 \)
\( \qquad h = a \sqrt 2 \)
Usemos ahora el triángulo anterior, aplicando las seis razones trigonométricas para encontrar todas las razones trigonométricas de un ángulo de \( 45^{\circ} \).

\( \qquad \sin 45^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{a}{h} = \dfrac{a}{a \sqrt 2} = \dfrac{1}{ \sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2} \)

\( \qquad \cos 45^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{a}{h} = \dfrac{a}{a \sqrt 2} = \dfrac{1}{ \sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2} \)

\( \qquad \tan 45^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Lado Adyacente}} = \dfrac{a}{a} = 1 \)

\( \qquad \csc 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sin 45^{\circ}} = \dfrac{2}{\sqrt 2} =\sqrt 2 \)

\( \qquad \sec 45^{\circ} = \dfrac{1}{\cos 45^{\circ}} = \dfrac{2}{\sqrt 2} = \sqrt 2 \)

\( \qquad \cot 45^{\circ} = \dfrac{1}{\tan 45^{\circ}} = \dfrac{1}{1} = 1 \)

Empezamos con un triángulo equilátero de lado \( a \) como se muestra en la figura 2. Luego trazamos una perpendicular desde uno de los vértices del triángulo hasta la base opuesta. Esta perpendicular biseca el ángulo en dos ángulos iguales de \( 30^{\circ} \) y el lado opuesto en dos segmentos iguales de longitud \( \dfrac{a}{2} \) como se muestra en la figura 3.

Figura 2

Figura 3

Este triángulo rectángulo especial 30-60-90 de la figura 3 nos ayuda a encontrar las seis razones trigonométricas de los ángulos \( 30^{\circ} \) y \( 60^{\circ} \).

Primero usamos el teorema de Pitágoras para encontrar el lado \( h \).

\( \qquad a^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \)

Resolvemos para \( h^2 \).
\( \qquad h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = 3 \dfrac{a^2}{4} \)
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para resolver \( h \).
\( \qquad h = \dfrac{a \sqrt 3}{2} \)

Ahora usamos el triángulo anterior para encontrar todas las razones trigonométricas de \( 30^{\circ} \).

\( \qquad \sin 30^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2} \)

\( \qquad \cos 30^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{h}{a} = \dfrac{\dfrac{a \sqrt 3}{2}}{a} = \dfrac{\sqrt 3}{2} \)

\( \qquad \tan 30^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Lado Adyacente}} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{h} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a \sqrt 3}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt 3} \)

\( \qquad \csc 30^{\circ} = \dfrac{1}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{1}{1/2} = 2 \)

\( \qquad \sec 30^{\circ} = \dfrac{1}{\cos 30^{\circ}} = \dfrac{2}{\sqrt 3} \)

\( \qquad \cot 30^{\circ} = \dfrac{1}{\tan 30^{\circ}} = \sqrt 3 \)

Ahora usamos el mismo triángulo de la figura 3 para encontrar todas las razones trigonométricas de \( 60^{\circ} \).
\( \qquad \sin 60^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{h}{a} = \dfrac{\dfrac{a \sqrt 3}{2}}{a} = \dfrac{\sqrt 3}{2} \)

\( \qquad \cos 60^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{a/2}{a} = \dfrac{1}{2} \)

\( \qquad \tan 60^{\circ} = \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Lado Adyacente}} = \dfrac{h}{a/2} = \dfrac{\dfrac{a \sqrt 3}{2}}{a/2} = \sqrt 3 \)

\( \qquad \csc 60^{\circ} = \dfrac{1}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt 3}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt 3} \)

\( \qquad \sec 60^{\circ} = \dfrac{1}{\cos 60^{\circ}} = \dfrac{1}{1/2} = 2 \)

\( \qquad \cot 60^{\circ} = \dfrac{1}{\tan 60^{\circ}} = \dfrac{1}{\sqrt 3} \)

Tabla de las Seis Funciones Trigonométricas para Ángulos Especiales

Aquí agrupamos todos los valores de las seis funciones trigonométricas en una tabla.
NOTA: la letra \( U \) en la tabla significa "no definido" (undefined).

\( {\theta \;\;\; \text{(en Grados)} }\)	\( { 0^{\circ} } \)	\( { 30^{\circ} } \)	\( { 45^{\circ} } \)	\( { 60^{\circ} } \)	\( { 90^{\circ} } \)
\( {\theta \;\;\; \text{(en Radianes)} }\)	\( { 0 } \)	\( { \dfrac{\pi}{6} } \)	\( { \dfrac{\pi}{4} } \)	\( { \dfrac{\pi}{3} } \)	\( { \dfrac{\pi}{2} } \)
\( {\sin \theta}\)	\( 0 \)	\( \dfrac{1}{2} \)	\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \)	\( \dfrac{\sqrt 3}{2} \)	\( 1 \)
\( {\cos \theta} \)	\( 1 \)	\( \dfrac{\sqrt 3}{2} \)	\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \)	\( \dfrac{1}{2} \)	\( 0 \)
\( { \tan \theta } \)	\( 0 \)	\( \dfrac{1}{\sqrt 3} \)	\( 1 \)	\( \sqrt 3 \)	\( \text{U}\)
\( {\csc \theta}\)	\( \text{U}\)	\( 2 \)	\( \sqrt 2 \)	\( \dfrac{2}{\sqrt 3} \)	\( 1 \)
\( {\sec \theta} \)	\( 1 \)	\( \dfrac{2}{\sqrt 3} \)	\( \sqrt 2 \)	\( 2 \)	\( \text{U}\)
\( { \cot \theta } \)	\( \text{U}\)	\( \sqrt 3 \)	\( 1 \)	\( \dfrac{1}{\sqrt 3} \)	\( 0 \)