Ecuaciones y Desigualdades con Valor Absoluto
Se presentan preguntas sobre cómo resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto junto con soluciones detalladas. Puede ser útil repasar los tutoriales sobre cómo resolver ecuaciones con valor absoluto antes de realizar las siguientes preguntas.
Repaso de Ecuaciones y Desigualdades con Valor Absoluto
Para resolver ecuaciones o desigualdades con valor absoluto, necesitamos reescribirlas sin valor absoluto, resolverlas y, si es necesario, verificar las soluciones obtenidas.
Lo más importante sobre el valor absoluto de una expresión algebraica es que podemos simplificarlas si conocemos el signo de la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, de acuerdo con la siguiente definición.
\[ | x | = x \; \text{si} \; x \ge 0 \; , \; \text{y} \; | x | = - x \; \text{si} \; x \lt 0 \]
Equivalencias: Algunas ecuaciones y desigualdades específicas con valor absoluto pueden escribirse sin el símbolo de valor absoluto de la siguiente manera:
\[ 1) \quad |x| = k , \quad \text{donde k es un número real positivo} \Leftrightarrow \quad x = k \; \text{o} \; x = - k \]
\[ 2) \quad |x| \lt k , \quad \text{donde k es un número real positivo} \Leftrightarrow \quad - k \lt x \lt k \]
\[ 3) \quad |x| \gt k ,\quad \text{donde k es un número real positivo} \Leftrightarrow \quad x \gt k \; \text{o} \; x \lt - k \]
Ecuaciones con Valor Absoluto
Pregunta 1
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
\[ 2|-2x - 2| - 3 = 13 \]
Solución a la Pregunta 1
Reescribe la ecuación con la expresión de valor absoluto en un lado.
Suma 3 a ambos lados:
\[ 2| - 2 x - 2| = 16 \]
Divide ambos lados por 2:
\[ | - 2 x - 2| = 8 \]
Usa la equivalencia 1) anterior para escribir la ecuación sin valor absoluto: a) \( -2 x - 2 = 8 \) y b) \( -2 x - 2 = -8 \)
\[ a) \quad -2 x - 2 = 8 \]
Resuelve para obtener:
\[ x = - 5 \]
Segunda ecuación:
\[ b) \quad - 2 x - 2 = - 8 \]
Resuelve para obtener:
\[ x = 3 \]
Como ejercicio, verifica mediante sustitución que \( x = - 5 \) y \( x = 3 \) son soluciones de la ecuación dada.
Conclusión: El conjunto solución de la ecuación dada es: \[ \{-5,3\} \]
Pregunta 2
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
\[ |x - 1| = 2x + 1 \]
Solución a la Pregunta 2
Los signos de \( x - 1 \) y \( 2x + 1 \) cambian con \( x \), y una forma de resolver esta ecuación es considerar dos casos.
a) Supón que \( x - 1 \geq 0 \), por lo tanto \( |x-1| = x - 1 \) y reescribe la ecuación como:
\[ x - 1 = 2x + 1 \]
Resuelve para \( x \):
\[ x = -2 \]
b) Supón que \( x - 1 \leq 0 \), por lo tanto \( |x-1| = -( x - 1) \) y reescribe la ecuación como:
\[ -(x - 1) = 2x + 1 \]
\[ - x + 1 = 2x + 1 \]
Resuelve para \( x \):
\[ x = 0 \]
Importante: Debido a que *asumimos* el signo de la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, necesitamos verificar las dos soluciones encontradas.
Verifica \( x = -2 \):
Sustituye \( x = -2 \) en ambos lados de la ecuación original.
Lado izquierdo:
\[ |(-2) - 1| = |-3| = 3 \]
Lado derecho:
\[ 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \]
Los dos lados no son iguales, por lo tanto \( x = -2 \) NO es una solución.
Verifica \( x = 0 \):
Sustituye \( x = 0 \) en ambos lados de la ecuación original.
Lado izquierdo:
\[ |0 - 1| = |-1| = 1 \]
Lado derecho:
\[ 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \]
Los dos lados son iguales, por lo tanto \( x = 0 \) es una solución.
Conjunto solución de la ecuación dada es:
\[ \{ 0 \} \]
Pregunta 3
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación.
\[ |2x - 1| = x^2 \]
Solución a la Pregunta 3
\( x^2 \) es 0 o positivo, pero el signo de \( 2x - 1 \) cambia con \( x \). Consideremos dos casos:
a) Supón que \( 2x - 1 \geq 0 \) y reescribe la ecuación como:
\[ 2x - 1 = x^2 \]
que puede escribirse como:
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Resuelve para \( x \):
\[ x = 1 \]
b) \( 2x - 1 \leq 0 \) y reescribe la ecuación como:
\[ - (2x - 1) = x^2 \]
que puede escribirse como:
\[ x^2 + 2x - 1 = 0 \]
Resuelve para \( x \):
\[ x = -1 \pm \sqrt{2} \]
Verifica todas las soluciones encontradas arriba (los cálculos detallados se dejan como ejercicio).
Todas las soluciones encontradas: \( x = 1 \), \( x = -1 - \sqrt{2} \) y \( x = -1 + \sqrt{2} \) son soluciones de la ecuación original dada arriba.
Pregunta 4
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
\[ -2|x + 1| -2 = 4 \]
Solución a la Pregunta 4
Reescribe la ecuación dada con el término que contiene el valor absoluto en un lado.
\[ -2|x + 1| = 6 \]
Divide ambos lados por \( -2 \):
\[ |x + 1| = - 3 \]
El valor absoluto de una expresión algebraica no puede ser negativo y, por lo tanto, la ecuación dada no tiene soluciones.
Pregunta 5
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
\[ |x - 1| = |x^2 -2x + 1| \]
Solución a la Pregunta 5
Nota que \( x^2 - 2x + 1 \) puede escribirse como:
\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]
una expresión que es positiva o igual a cero. Nuestra ecuación puede escribirse como:
\[ |x - 1| = |(x-1)^2| = |x - 1|^2 \]
Reescribe lo anterior como:
\[ |x - 1|^2 - |x - 1| = 0 \]
Factoriza:
\[ |x - 1| (|x - 1| - 1) = 0 \]
Lo que da:
\[ |x - 1| = 0 \quad \text{y la solución } x = 1 \]
o
\[ |x - 1| - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x - 1| = 1 \]
Resuelve lo anterior para obtener dos soluciones:
\[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 2 \]
No hicimos suposiciones como en las preguntas anteriores, por lo tanto no necesitamos verificar nuestras soluciones (excepto quizás por errores cometidos).
\[
\text{Conjunto solución: } \{0, 1, 2\}
\]
Desigualdades con Valor Absoluto
Pregunta 6
Resuelve la desigualdad.
\[ |x + 2| \lt 3 \]
Solución a la Pregunta 6
La desigualdad anterior se resuelve escribiendo una desigualdad doble equivalente (ver equivalencia 2) arriba) a la desigualdad dada pero sin valor absoluto:
\[ |x + 2| \lt 3 \Leftrightarrow - 3 \lt x + 2 \lt 3 \]
Resuelve la desigualdad doble para obtener:
\[ - 5 \lt x \lt 1 \]
El conjunto solución anterior se escribe en forma de intervalo de la siguiente manera:
\[ (-5 , 1) \]
Pregunta 7
Resuelve la desigualdad con valor absoluto.
\[ - 3|-2x + 4| \le 4 \]
Solución a la Pregunta 7
Divide ambos lados de la desigualdad dada por \( - 3 \) y cambia el signo de la desigualdad para obtener:
\[ |-2x + 4| \ge - 4 / 3 \]
El valor absoluto de una expresión es siempre positivo o igual a cero. Por lo tanto, cualquier valor de \( x \) en la desigualdad anterior la satisfará y, en consecuencia, el conjunto solución de la desigualdad dada es el conjunto de todos los números reales dado por:
\[ (-\infty , \infty) \]
Pregunta 8
Resuelve la desigualdad.
\[ | - 2 x - 4 | \gt 9 \]
Solución a la Pregunta 8
Resolver la desigualdad anterior es equivalente a resolver las desigualdades (ver equivalencia 3 arriba):
\[ -2 x - 4 \gt 9 \quad \text{o} \quad -2 x - 4 \lt - 9 \]
Lo que da:
\[ x \lt -13 / 2 \quad \text{o} \quad x \gt 5 / 2 \]
El conjunto solución anterior se escribe en forma de intervalo de la siguiente manera:
\[ (-\infty , -13 / 2) \cup (5 / 2 , + \infty) \]
Pregunta 9
Resuelve la desigualdad con valores absolutos.
\[ |x + 1| \le |x^2 + 2x + 1| \]
Solución a la Pregunta 9
Nota que la expresión algebraica \( |x^2 + 2x + 1| \) puede escribirse como:
\[ |x^2 + 2x + 1| = |(x + 1)^2| = |x + 1|^2 \]
Por lo tanto, la desigualdad puede escribirse como:
\[ |x + 1| - |x + 1|^2 \leq 0 \]
\( |x + 1| \) es positivo o igual a cero, por lo tanto, el lado izquierdo de la desigualdad anterior puede factorizarse como:
\[ |x + 1|(1 - |x + 1|) \leq 0 \]
Ahora usamos una tabla para estudiar el signo de los dos factores en el lado izquierdo de la desigualdad anterior para determinar el conjunto solución.
\( |x + 1| \) es positivo para todos los valores de \( x \) excepto en \( x = -1 \), donde es igual a cero.
Los ceros de \( 1 - |x + 1| \) son \( -2 \) y \( 0 \).
La tabla de signos se muestra a continuación.
El conjunto solución de la desigualdad dada es:
\[ (-\infty , - 2] \cup {\{-1\}} \cup [0 , + \infty) \]
Verifica el conjunto solución anterior con la desigualdad de forma gráfica utilizando las gráficas de los dos lados ( \( |x + 1| \) en azul y \( |x^2 + 2x + 1| \) en rojo) de la desigualdad dada que se muestran a continuación.
Pregunta 10
Resuelve la desigualdad.
\[ x + 2 \lt |x^2 - 4| \]
Solución a la Pregunta 10
Una forma de eliminar el valor absoluto es estudiar el signo de la expresión dentro del símbolo de valor absoluto. Hay dos casos:
Caso 1
Para \( x^2 - 4 \ge 0 \), o \( x\) en el intervalo \( (-\infty , -2] \cup [2 , +\infty) \), podemos escribir:
\[ |x^2 - 4| = x^2 - 4 \]
Sustituye la expresión con el valor absoluto en la desigualdad dada y resuelve:
\[ x + 2 \lt x^2 - 4 \]
que puede escribirse como:
\[ x^2 - x - 6 \gt 0 \]
El conjunto solución de la desigualdad anterior está dado por el intervalo:
\[ (-\infty , -2) \cup (3 , +\infty) \]
Necesitamos seleccionar solo las soluciones dentro del intervalo \( (-\infty , -2] \cup [2 , +\infty) \). La intersección de los intervalos \((-\infty , -2] \cup [2 , +\infty)\) y \((-\infty , -2) \cup (3 , +\infty)\) da el conjunto solución:
\[ (-\infty , -2) \cup (3 , +\infty) \]
Caso 2
Para \(x^2 - 4 \lt 0\), o \(x\) en el intervalo \((-2 , 2)\), podemos escribir:
\[ |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) \]
Sustituye la expresión con el valor absoluto en la desigualdad dada y resuelve:
\[ x + 2 \lt -(x^2 - 4) \]
que puede reescribirse como:
\[ x^2 + x - 2 \lt 0 \]
El conjunto solución de la desigualdad anterior está dado por el intervalo: \( (-2 , 1) \)
Necesitamos seleccionar solo las soluciones dentro del intervalo \((-2 , 2)\). El conjunto solución de la desigualdad anterior está dado por la intersección de los intervalos \((-2 , 1)\) y \((-2 , 2)\), lo que da:
\[ (-2 , 1) \]
Conclusión: El conjunto solución para la desigualdad dada es:
\[ (-\infty, -2) \cup (-2 , 1) \cup (3 , +\infty) \]
Verifica la respuesta anterior a la desigualdad de forma gráfica utilizando las gráficas de los dos lados de la desigualdad dada que se muestran a continuación.
Referencias y enlaces a ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.