Se presentan preguntas sobre cómo resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, junto con soluciones detalladas. Puede ser útil revisar los tutoriales sobre resolver ecuaciones con valor absoluto antes de resolver las preguntas a continuación.
Revisión de Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto
Para resolver ecuaciones o inecuaciones con valor absoluto, necesitamos reescribirlas sin valor absoluto, resolverlas y, si es necesario, verificar las soluciones obtenidas.
Lo más importante sobre el valor absoluto de una expresión algebraica es que podemos simplificarlas si conocemos el signo de la expresión dentro del símbolo de valor absoluto según la siguiente definición.
| x | = x si x ≥ 0 y | x | = - x si x < 0
Algunas ecuaciones e inecuaciones específicas con valor absoluto se pueden escribir sin el símbolo de valor absoluto de la siguiente manera:
1) |x| = k , donde k es un número real positivo, es equivalente a x = k o x = - k
2) |x| < k , donde k es un número real positivo, es equivalente a - k < x < k
3) |x| > k , donde k es un número real positivo, es equivalente a k < 0 o x < - k
Ecuaciones de Valor Absoluto
Pregunta 1
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
2|-2x - 2| - 3 = 13
Solución a la Pregunta 1
Reescribe la ecuación con la expresión de valor absoluto en un lado
2| - 2 x - 2| = 16 , suma 3 a ambos lados
| - 2 x - 2| = 8 , divide ambos lados por 2
La ecuación anterior es equivalente a afirmar que la expresión - 2 x - 2 es igual a 8 o - 8.
a) -2 x - 2 = 8
x = - 5
b) - 2 x - 2 = - 8
x = 3
Como ejercicio, verifica por sustitución que x = - 5 y x = 3 son soluciones de la ecuación dada.
Conjunto de soluciones: {-5,3}
Pregunta 2
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
|x - 1| = 2x + 1
Solución a la Pregunta 2
Los signos de x - 1 y 2 x + 1 cambian con x y una forma de resolver esta ecuación es considerar dos casos
a) suponer x - 1 ≥ 0 y reescribir la ecuación como
x - 1 = 2x + 1
resolver para x
x = -2
b) suponer x - 1 ≤ 0 y reescribir la ecuación como
-(x - 1) = 2x + 1
- x + 1 = 2x + 1
resolver para x
x = 0
Importante: Como asumimos el signo de la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, necesitamos verificar las dos soluciones encontradas anteriormente.
Verificar x = - 2
Sustituye x por - 2 en ambos lados de la ecuación dada.
Lado izquierdo: |(-2) - 1| = |-2 + 1| = 1
Lado derecho: 2(-2) + 1 = - 3
Los dos lados no son iguales y, por lo tanto, x = -2 no es una solución para la ecuación dada.
Verificar x = 0
Sustituye x por 0 en ambos lados de la ecuación dada.
Lado izquierdo: |(0) - 1| = 1
Lado derecho: 2(0) + 1 = 1
Los dos lados son iguales y, por lo tanto, x = 0 es una solución para la ecuación dada.
Conjunto de sol
uciones: {0}
Pregunta 3
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación
|2x - 1| = x2
Solución a la Pregunta 3
x2 es 0 o positivo pero el signo de 2 x - 1 cambia con x. Consideremos dos casos
a) suponer 2 x - 1 ≥ 0 y reescribir la ecuación como
2x - 1 = x2
que puede escribirse como
x2 - 2x + 1 = 0
resolver para x
x = 1
b) suponer 2 x - 1 ≤ 0 y reescribir la ecuación como
- (2x - 1) = x2
que puede escribirse como
x2 + 2 x - 1 = 0
resolver para x
x = - 1 - √ 2 , - 1 + √ 2
Verifica todas las soluciones encontradas anteriormente (los cálculos detallados se dejarán para ti como ejercicio)
Todas las soluciones encontradas (1 , - 1 - √ 2 y - 1 + √ 2) son soluciones de la ecuación original dada arriba.
Pregunta 4
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
-2|x + 1| -2 = 4
Solución a la Pregunta 4
Reescribe la ecuación dada con el término que contiene el valor absoluto en un lado.
-2|x + 1| = 6
|x + 1| = - 3
El valor absoluto de una expresión algebraica no puede ser negativo y, por lo tanto, la ecuación dada no tiene soluciones.
Pregunta 5
Encuentra todas las soluciones reales para la ecuación con valor absoluto.
|x - 1| = |x2 -2x + 1|
Solución a la Pregunta 5
Nota que x2 -2x + 1 se puede escribir como
x2 -2x + 1 = (x - 1)2 , una expresión que es positiva o igual a cero y nuestra ecuación se puede escribir como:
|x - 1| = |x - 1| 2
Reescribe lo anterior como
|x - 1| 2 - |x - 1| = 0
Factoriza
|x - 1|(|x - 1| - 1) = 0
lo cual da
|x - 1| = 0 y solución x = 1
o
|x - 1| - 1 = 0
|x - 1| = 1
Resuelve lo anterior para obtener dos soluciones
x = 1 y x = 2.
No hicimos ninguna suposición como en las preguntas anteriores y, por lo tanto, no necesitamos verificar nuestras soluciones (excepto quizás por errores cometidos).
Conjunto de soluciones: {0,1,2}
Inecuaciones de Valor Absoluto
Pregunta 6
Resuelve la inecuación.
|x + 2| < 3
Solución a la Pregunta 6
La inecuación anterior se resuelve escribiendo una doble desigualdad equivalente a la inecuación dada pero sin valor absoluto
- 3 < x + 2 < 3
Resuelve la doble desigualdad para obtener
- 5 < x < 1
El conjunto de soluciones anterior se escribe en forma de intervalo de la siguiente manera
(-5 , 1)
Pregunta 7
Resuelve la desigualdad con valor absoluto.
- 3|-2x + 4| ≤ 4
Solución a la Pregunta 7
Divide ambos lados de la desigualdad dada por - 3 y cambia el símbolo de la desigualdad para obtener
|-2x + 4| ≥ - 4 / 3
El valor absoluto de una expresión siempre es positivo o igual a cero. Por lo tanto, cualquier valor de x en la desigualdad anterior la satisfará y, por lo tanto, el conjunto de soluciones de la desigualdad dada es el conjunto de todos los números reales dado por
\( (-\infty , \infty) \)
Pregunta 8
Resuelve la desigualdad.
| - 2 x - 4 | > 9
Solución a la Pregunta 8
Resolver la desigualdad anterior es equivalente a resolver
-2 x - 4 > 9 o -2 x - 4 < - 9
Lo cual da
\( x \lt -13 / 2\) o \( x \gt 5 / 2 \)
El conjunto de soluciones anterior se escribe en forma de intervalo de la siguiente manera
\( (-\infty , -13 / 2) \cup (5 / 2 , + \infty) \)
Pregunta 9
Resuelve la desigualdad con valores absolutos.
|x + 1| ≤ |x2 + 2x + 1|
Solución a la Pregunta 9
Observa que la expresión algebraica |x2 + 2x + 1| se puede escribir como
|x2 + 2x + 1| =
Por lo tanto, la desigualdad se puede escribir como
|x + 1| - |x + 1| 2 ≤ 0
|x + 1| es positivo o igual a cero, por lo tanto, el lado izquierdo de la desigualdad anterior se puede factorizar como
|x + 1|(1 - |x + 1|) ≤ 0
Ahora usamos una tabla para estudiar el signo de los dos factores del lado izquierdo de la desigualdad anterior para determinar el conjunto de soluciones.
|x + 1| es positivo para todos los valores de x excepto en x = - 1 donde es igual a cero.
Los ceros de (1 - |x + 1|) son - 2 y 0.
La tabla de signos se muestra a continuación.
El conjunto de soluciones de la desigualdad dada es dado por
\( (-\infty , - 2] \cup {\{-1\}} \cup [0 , + \infty) \)
Verifica la respuesta anterior a la desigualdad gráficamente usando las gráficas de ambos lados (|x + 1| en azul y |x2 + 2x + 1| en rojo) de la desigualdad dada mostradas a continuación.
Pregunta 10
Resuelve la desigualdad.
\( x + 2 \lt |x^2 - 4| \)
Solución a la Pregunta 10
Una forma de eliminar el valor absoluto es estudiar el signo de la expresión dentro del símbolo de valor absoluto. Hay dos casos
Caso 1
Para \( x^2 - 4 \ge 0 \), o \( x\) en el intervalo \( (-\infty , -2] \cup [2 , +\infty)\), podemos escribir
\( |x^2 - 4| = x^2 - 4 \)
Sustituye la expresión con el valor absoluto en la desigualdad dada y resuelve
\( x + 2 \lt x^2 - 4\)
\( x^2 - x - 6 \gt 0\)
El conjunto de soluciones a la desigualdad anterior está dado por el intervalo
\( (-\infty , -2) \cup (3 , +\infty)\)
Necesitamos seleccionar solo las soluciones dentro del intervalo \( (-\infty , -2] \cup [2 , +\infty)\). La intersección de los intervalos \((-\infty , -2] \cup [2 , +\infty)\) y \((-\infty , -2) \cup (3 , +\infty)\) da el conjunto de soluciones
\((-\infty , -2) \cup (3 , +\infty)\)
Caso 2
Para \(x^2 - 4 \lt 0\), o \(x\) en el intervalo \((-2 , 2)\), podemos escribir
\( |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) \)
Sustituye la expresión con el valor absoluto en la desigualdad dada y resuelve
\(x + 2 \lt -(x^2 - 4)\)
lo cual puede ser reescrito como
\(x^2 + x - 2 \lt 0\)
El conjunto de soluciones a la desigualdad anterior está dado por el intervalo: (-2 , 1)
Necesitamos seleccionar solo las soluciones dentro del intervalo \((-2 , 2)\). El conjunto de soluciones a la desigualdad anterior está dado por la intersección de los intervalos \((-2 , 1)\) y \((-2 , 2)\) que da
(-2 , 1)
Conclusión: El conjunto de soluciones a la desigualdad dada es
\((-\infty, -2) \cup (-2 , 1) \cup (3 , +\infty)\)
Verifica la respuesta anterior a la desigualdad gráficamente usando las gráficas de ambos lados de la desigualdad dada mostradas a continuación.
Referencias y enlaces a ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto.
