Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto

10 Problemas Resueltos con Soluciones Paso a Paso

Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto es una habilidad fundamental en álgebra. Debido a que el valor absoluto $|x|$ representa la distancia desde cero, la mayoría de los problemas requieren evaluar dos casos distintos.

¿Necesitas un repaso? Consulta nuestro tutorial sobre el valor absoluto antes de sumergirte en los problemas a continuación.

Reglas Básicas y Equivalencias

Usa estas equivalencias fundamentales para eliminar los símbolos de valor absoluto (donde $k > 0$):

Tipo de Problema Equivalencia Algebraica
Ecuaciones \( |x| = k \iff x = k \text{ o } x = -k \)
Inecuaciones (<) \( |x| \lt k \iff -k \lt x \lt k \)
Inecuaciones (>) \( |x| \gt k \iff x \gt k \text{ o } x \lt -k \)

Parte 1: Ecuaciones con Valor Absoluto

Pregunta 1: Resuelve \( 2|-2x - 2| - 3 = 13 \)

1. Aísla el valor absoluto: Suma 3, luego divide por 2:

\[ | - 2 x - 2| = 8 \]

2. Aplica la regla \( x = k \) o \( x = -k \):

  • \( -2x - 2 = 8 \implies -2x = 10 \implies x = -5 \)
  • \( -2x - 2 = -8 \implies -2x = -6 \implies x = 3 \)

Conjunto Solución: \( \{-5, 3\} \)

Pregunta 2: Resuelve \( |x - 1| = 2x + 1 \)

Caso A: \( x - 1 \ge 0 \implies x - 1 = 2x + 1 \implies x = -2 \). (No satisface \( x \ge 1 \))

Caso B: \( x - 1 \lt 0 \implies -(x - 1) = 2x + 1 \implies x = 0 \). (Satisface \( x \lt 1 \))

Comprobación: En \( x=0 \), \( |0-1| = 2(0)+1 \implies 1 = 1 \). (Verdadero)

Conjunto Solución: \( \{0\} \)

Pregunta 3: Resuelve \( |2x - 1| = x^2 \)

Caso 1: \( 2x - 1 = x^2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 \)

Caso 2: \( 2x - 1 = -x^2 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 \)

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \]

Conjunto Solución: \( \{1, -1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}\} \)

Pregunta 4: Resuelve \( -2|x + 1| - 2 = 4 \)
\[ -2|x + 1| = 6 \implies |x + 1| = -3 \]

Conclusión: No hay solución, ya que el valor absoluto no puede ser negativo.

Pregunta 5: Resuelve \( |x - 1| = |x^2 - 2x + 1| \)

Identidad: \( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \). Sea \( u = |x - 1| \):

\[ u = u^2 \implies u(u - 1) = 0 \]

Conjunto Solución: \( \{0, 1, 2\} \)

Parte 2: Inecuaciones con Valor Absoluto

Pregunta 6: Resuelve \( |x + 2| \lt 3 \)
\[ -3 \lt x + 2 \lt 3 \implies -5 \lt x \lt 1 \]

Intervalo: \( (-5, 1) \)

Pregunta 7: Resuelve \( -3|-2x + 4| \le 4 \)
\[ |-2x + 4| \ge -\frac{4}{3} \]

Verdadero para todos los números reales. Solución: \( (-\infty, \infty) \)

Pregunta 8: Resuelve \( |-2x - 4| \gt 9 \)
  • \( -2x - 4 \gt 9 \implies x \lt -6.5 \)
  • \( -2x - 4 \lt -9 \implies x \gt 2.5 \)

Intervalo: \( (-\infty, -6.5) \cup (2.5, \infty) \)

Pregunta 9: Resuelve \( |x + 1| \le |x^2 + 2x + 1| \)

Conjunto Solución: \( (-\infty , -2] \cup \{-1\} \cup [0 , \infty) \)

Gráfico de análisis de signos
Pregunta 10: Resuelve \( x + 2 \lt |x^2 - 4| \)

Caso 1 (|x| ≥ 2): \( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \)

Caso 2 (|x| < 2): \( (-2, 1) \)

Combinado: \( (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (3, \infty) \)

Comprobación gráfica

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