Problemas de Optimización de la Vida Real en Cálculo con Soluciones

Encuentra dos números positivos tales que su producto sea igual a 10 y su suma sea lo más pequeña posible. Verifica tu respuesta gráficamente.

Solución

Sea \( x \) el primer número e \( y \) el segundo número, donde tanto \( x > 0 \) como \( y > 0 \). Sea \( S \) la suma a minimizar.

• Suma: \( S = x + y \)   ← Esta es la función a minimizar
• Restricción del producto: \( x \cdot y = 10 \)   ← Relación entre variables

A partir de la restricción, despeja \( y \): \( y = \dfrac{10}{x} \)

Sustituye en la función de suma para obtener una función de una sola variable: \[ S(x) = x + \dfrac{10}{x} = \dfrac{x^2 + 10}{x} \] \quad \text{con dominio} \quad x > 0

Encuentra la primera derivada de \( S(x) \): \[ S'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(x + \dfrac{10}{x}\right) = 1 - \dfrac{10}{x^2} \]

Iguala la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 1 - \dfrac{10}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \]

Descartamos \( x = -\sqrt{10} \) porque \( x \) debe ser positivo. Así que \( x = \sqrt{10} \) es un punto crítico.

Comprueba la segunda derivada para determinar la concavidad: \[ S''(x) = \dfrac{20}{x^3} \] Como \( x > 0 \), \( S''(x) > 0 \), por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba. Por lo tanto, \( x = \sqrt{10} \) es un mínimo.

Los dos números son: \[ x = \sqrt{10} \approx 3.16, \quad y = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \]

La gráfica de \( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \) muestra un valor mínimo en \( x \approx 3.16 \), lo que confirma el resultado.

Encuentra dos números positivos tales que la suma de seis veces el primero y el doble del segundo sea igual a 150, y su producto sea lo más grande posible.

Solución

Sea \( x \) el primer número e \( y \) el segundo número. Sea \( P \) el producto a maximizar.

La función objetivo es: \( P = x \cdot y \)

La restricción es: \( 6x + 2y = 150 \)

Despeja \( y \) de la restricción: \( y = 75 - 3x \)

Sustituye en la función de producto: \( P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \)

Calcula la primera derivada: \( P'(x) = 75 - 6x \)

Iguala la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \( 75 - 6x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \)

Calcula la segunda derivada: \( P''(x) = -6 \). Como \( P''(x) < 0 \), la función es cóncava hacia abajo, lo que confirma un máximo.

Ahora encuentra \( y \): \( y = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \)

Conclusión: Los dos números positivos que maximizan el producto son:

• \( x = \dfrac{25}{2} = 12.5 \)
• \( y = \dfrac{75}{2} = 37.5 \)

Supón que debes cercar dos campos rectangulares con las mismas dimensiones, con un lado en común, usando 180 metros de cerca. Encuentra las dimensiones de los rectángulos para que el área total cercada sea máxima.

Solución

Sea \( L \) la longitud y \( W \) el ancho de cada rectángulo. El ancho es el lado compartido.

Área total: \( A = 2LW \)
Restricción de la cerca: \( 4L + 3W = 180 \).
Despeja \( W \): \( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \).
Área como función de \( L \): \[ A(L) = 2L \left(60 - \dfrac{4}{3}L \right) = -\dfrac{8}{3}L^2 + 120L \] A partir de la restricción, el dominio es \( L \in [0, 45] \).
Derivada: \( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \).
Resuelve \( A'(L) = 0 \implies L = 22.5 \).
Evalúa:

• \( A(0) = 0 \)
• \( A(45) = 0 \)
• \( A(22.5) = -\dfrac{8}{3}(22.5)^2 + 120 \cdot 22.5 = 1350 \)

El área máxima ocurre en \( L = 22.5 \), \( W = 60 - \dfrac{4}{3} \cdot 22.5 = 30 \).

Dimensiones: \( 22.5 \) m por \( 30 \) m.

Un alambre de longitud 100 cm se corta en dos trozos. Un trozo se dobla para formar un cuadrado, y el otro se dobla para formar un círculo. Encuentra las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas encerradas por el cuadrado y el círculo sea mínima.

Solución

Sea \( x \) la longitud del alambre usado para el cuadrado e \( y \) para el círculo. Alambre total: \( x + y = 100 \).

Paso 1: Expresar las Áreas en Términos de \( x \)

Para el cuadrado: \( x = 4s \implies s = \dfrac{x}{4} \implies A_{\text{cuadrado}} = \dfrac{x^2}{16} \)
Para el círculo: \( y = 2\pi r \implies r = \dfrac{y}{2\pi} \implies A_{\text{círculo}} = \dfrac{y^2}{4\pi} \)
Área total: \( A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \)

Paso 2: Minimizar el Área

Derivada: \( A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \)
Iguala la derivada a 0: \[ \dfrac{x}{8} = \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \implies 2\pi x = 8(100 - x) \implies x = \dfrac{800}{2\pi + 8} = \dfrac{400}{\pi + 4} \] Aproximando: \( x \approx 56 \) cm, \( y = 100 - x \approx 44 \) cm.

Paso 3: Verificar el Mínimo

\( A(0) \approx 795 \), \( A(100) = 625 \), \( A(56) \approx 350 \).

Respuesta Final

• Usa aproximadamente 56 cm para el cuadrado.
• Usa aproximadamente 44 cm para el círculo.

Se va a fabricar una caja con extremos cuadrados de lado \( x \) y longitud \( L \) de tal manera que \( L + 4x = 4 \) metros. Encuentra las dimensiones de la caja que maximicen su volumen.

Solución

Volumen: \( V = x^2 L \)
Restricción: \( L + 4x = 4 \implies L = 4 - 4x \)
Sustitución: \( V(x) = x^2(4 - 4x) \) con dominio \( [0, 1] \).
Derivada: \( V'(x) = 8x - 12x^2 \)
Puntos críticos: \( 8x - 12x^2 = 0 \implies x(8 - 12x) = 0 \implies x = 0 \) o \( x = \dfrac{2}{3} \).
Evalúa: \( V(0) = 0 \), \( V\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{16}{27} \), \( V(1) = 0 \).

Se maximiza en \( x = \dfrac{2}{3} \) metros.
\( L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \) metros.

Respuesta Final: Extremos cuadrados de lado \( \dfrac{2}{3} \) metros y longitud \( \dfrac{4}{3} \) metros, lo que da un volumen máximo de \( \dfrac{16}{27} \text{ m}^3 \).

El costo total de una calculadora electrónica es $21. Si la máquina se vende a un precio de \( x \) dólares cada una, el número \( n \) de máquinas vendidas está dado por \( n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \).

Solución

Función de ganancia: \( P(x) = n(x - 21) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \)
Simplifica: \( P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \) para el dominio \( x \in (21, \infty) \).
Derivada: \( P'(x) = -20x + 710 \)
Iguala a cero: \( -20x + 710 = 0 \implies x = 35.5 \).
Segunda derivada: \( P''(x) = -20 < 0 \) (cóncava hacia abajo, máximo).

Respuesta Final

El precio de venta que maximiza la ganancia es \( \boxed{x = 35.5 \text{ dólares}} \).

Encuentra las dimensiones del rectángulo con el área más grande inscrito bajo \( y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) y por encima del eje x.

Solución

Sea \( x \) la mitad de la longitud de la base. Área: \( A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \).

Derivada: \( A'(x) = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2} \)
Iguala a cero: \( 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \).
La prueba de la segunda derivada confirma el máximo en \( x = 1 \).

Respuesta Final

Longitud = \( 2(1) = 2 \), Ancho = \( \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2} \). Las dimensiones son de 2 unidades por 0.5 unidades.

Encuentra las dimensiones del rectángulo con el área más grande inscrito en un triángulo rectángulo con altura 4 e hipotenusa 5.

Solución

Base del triángulo: \( BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \).

Por triángulos semejantes: \( \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4 \).
Área: \( A(w) = w\left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w \).
Derivada: \( A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1.5 \).
Altura: \( h = -\dfrac{4}{3}(\dfrac{3}{2}) + 4 = 2 \).

Respuesta Final

Dimensiones: \( w = 1.5 \), \( h = 2 \).

Muestra analíticamente que \( f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x) \) para \( 0 \leq x \leq 2\pi \) nunca es positiva.

Solución

Derivada: \( f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) \).
Puntos críticos en \( [0, 2\pi] \): \( x = 0, \pi, 2\pi \).
Evalúa: \( f(0) = -8 \), \( f(2\pi) = -8 \), \( f(\pi) = 0 \).

Conclusión

Dado que el valor máximo de \( f(x) \) en \( [0, 2\pi] \) es \( 0 \), la función nunca es positiva.

Encuentra el radio \( r \) y la altura \( h \) de un cono con generatriz de 5 cm que maximiza su volumen.

Solución

Volumen: \( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \)
Restricción: \( h^2 + r^2 = 25 \implies h = \sqrt{25 - r^2} \)
Función de volumen: \( V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2} \)
Derivada: \( V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}} \)
Punto crítico: \( 50r - 3r^3 = 0 \implies r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08 \).
Altura: \( h = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2.88 \).

Encuentra el punto en la recta \( y = 4 - x \) que está más cerca de \( (6, 3) \).

Solución

Punto en la recta: \( M = (x, 4 - x) \).
Distancia al cuadrado: \( D^2 = (x - 6)^2 + (1 - x)^2 = 2x^2 - 14x + 37 \).
Derivada: \( 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2} \).
\( y = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2} \).

Respuesta Final: \( \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)} \).

Encuentra las distancias en el mar y a lo largo de la costa que minimizan el costo total de la tubería, dado que el costo en el mar es \( 3k \) y a lo largo de la costa es \( k \).

Solución

Sea \( x \) la distancia a lo largo de la costa desde \( B \) hasta \( D \). Longitud en la costa \( CD = 40 - x \), longitud en el mar \( y = \sqrt{30^2 + (40-x)^2} \).
Costo total: \( C_t(x) = kx + 3ky = kx + 3k\sqrt{900 + (40-x)^2} \).
La derivada y la resolución del punto crítico dan \( x \approx 29.40 \) km, y la distancia en el mar \( y \approx 31.81 \) km.

Muestra que si \( x + y = K \), entonces \( x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).

Solución

Función de producto: \( P(x) = x(K - x) = -x^2 + Kx \).
Derivada: \( P'(x) = -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2} \).
La segunda derivada \( P''(x) = -2 < 0 \) confirma el máximo en \( x = \dfrac{K}{2}, y = \dfrac{K}{2} \).
Producto máximo: \( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).