Se presenta una calculadora paso a paso del método de Newton .
El método de Newton para aproximar la solución de una ecuación \( f(x) = 0 \) es un proceso iterativo numérico escrito como
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) para \( n = 0,1,2,3,... \)
y por lo tanto, comenzando con un valor inicial \( x_0 \) , calculamos \( x_1 \) usando el proceso anterior, luego usamos \( x_1 \) para calcular \( x_2 \) y así sucesivamente.
El proceso continúa hasta obtener la convergencia de la solución.
Ejemplo
Sea \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) una ecuación a resolver.
Esta ecuación no se puede resolver analíticamente y, por lo tanto, podemos usar el método de Newton para encontrar una solución aproximada.
El primer paso es escribir la ecuación con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera.
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
y luego escribir \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
el cual debes ingresar en la calculadora a continuación.
También tienes la opción de seleccionar un valor inicial \( x_0 \) cercano a la solución aproximada y también el número de iteraciones necesarias.
Nota que
1) para ecuaciones con muchas soluciones como \( \sin(x) + 1/x \), todo depende del valor inicial \( x_0 \) que asignes. Por lo general, dará la solución aproximada más cercana a \( x_0 \).
2) el método falla si en algún punto del proceso de iteración, \( x_n \) está fuera del dominio de \( f(x) \) o \( f'(x) \), o si \( f'(x) = 0 \). Puede ser posible simplemente cambiar el valor inicial \( x_0 \) para obtener una aproximación a la solución.
3) Es posible que desees graficar \( f(x) \) para obtener gráficamente un mejor valor inicial \( x_0 \) que se utilizará en la calculadora.
1 - Ingresa y edita la función \( f(x)\) y haz clic en "Ingresar Función", luego verifica lo que ingresaste. Ingresa el valor inicial \( x_0 \), el cual debe estar lo más cerca posible de la solución buscada.
2 - Haz clic en "Calcular".
3 - El resultado incluye la derivada \( f'(x) \) y los valores numéricos de \( x_n \), \( f(x_n) \) y \( f'(x_n) \)
Nota que
1) los cinco operadores utilizados son: + (suma), - (resta), / (división), ^ (potencia) y * (multiplicación). (ejemplo: f(x) = x^3 - 1/x. Más notas sobre la edición de funciones se encuentran más abajo)
2) el logaritmo natural \( \ln(x) \) se ingresa como log(x), el exponencial natural \( e^x \) como exp(x).
3) una función \( f(x) \) elevada a alguna potencia \(n\) se ingresa como: \( (f(x))^n \). Ejemplo: \( \sin^2(2x-1) \) se ingresa como (sin(2x-1))^2.
4) las fracciones se ingresan como números decimales. Ejemplo: 1/2 se ingresa como 0.5.
Notas: Al editar funciones, utiliza lo siguiente:
1 - Los cinco operadores utilizados son: + (suma), - (resta), / (división), ^ (potencia) y * (multiplicación). (ejemplo: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - La función raíz cuadrada se escribe como sqrt. (ejemplo: sqrt(x^2-1) para \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - La función exponencial se escribe como exp(x). (Ejemplo: exp(x+2) para \( e^{x+2} \) )
4 - La función logaritmo en base e se escribe como log(x). (Ejemplo: log(x^2-2) para \( \ln(x^2 - 2) \) )
Aquí hay algunos ejemplos de funciones que puedes copiar y pegar para practicar:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1