Se introduce la definición de la concavidad de una gráfica junto con los puntos de inflexión. Se utilizan ejemplos con soluciones detalladas para aclarar el concepto de concavidad utilizando la primera y la segunda derivada.
Ejemplos Visuales de Concavidad
Ejemplo 1: Concavidad hacia Arriba
Nota que la pendiente de la recta tangente (primera derivada) aumenta. La gráfica en la figura de abajo se denomina cóncava hacia arriba.
Figura 1
Ejemplo 2: Concavidad hacia Abajo
La pendiente de la recta tangente (primera derivada) disminuye en la gráfica de abajo. Llamamos a la gráfica de abajo cóncava hacia abajo.
Figura 2
Definición de Concavidad
Sea \( f' \) la primera derivada de una función \( f \) que es diferenciable en un intervalo dado \( I \). La gráfica de \( f \) es:
- (i) cóncava hacia arriba en el intervalo \( I \), si \( f' \) es creciente en \( I \), o
- (ii) cóncava hacia abajo en el intervalo \( I \), si \( f' \) es decreciente en \( I \).
El signo de la segunda derivada nos indica cuándo \( f' \) es creciente o decreciente.
Teorema
Sea \( f'' \) la segunda derivada de la función \( f \) en un intervalo dado \( I \). La gráfica de \( f \) es:
- (i) cóncava hacia arriba en \( I \) si \( f''(x) > 0 \) en el intervalo \( I \).
- (ii) cóncava hacia abajo en \( I \) si \( f''(x) < 0 \) en el intervalo \( I \).
Definición de Punto de Inflexión
Un punto \( P \) en la gráfica de \( y = f(x) \) es un punto de inflexión si \( f \) es continua en \( P \) y la concavidad de la gráfica cambia en \( P \). En vista del teorema anterior, hay un punto de inflexión siempre que la segunda derivada cambia de signo.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 3: Funciones Cuadráticas
Problema: Determina los valores del coeficiente principal \( a \) para los cuales la gráfica de la función \( f(x) = ax^2 + bx + c \) es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Solución:
Primero hallamos la primera y segunda derivada de la función \( f \):
\[ f'(x) = 2ax + b \] \[ f''(x) = 2a \]Ahora estudiamos el signo de \( f''(x) \), que es igual a \( 2a \):
- Si \( a \) es positivo, \( f''(x) \) es positivo en el intervalo \((-\infty, +\infty)\). Según el teorema anterior, la gráfica de \( f \) será cóncava hacia arriba para valores positivos de \( a \).
- Si \( a \) es negativo, la gráfica de \( f \) será cóncava hacia abajo en el intervalo \((-\infty, +\infty)\) ya que \( f''(x) = 2a \) es negativo.
Las gráficas de dos funciones cuadráticas se muestran a continuación: \( y = 2x^2 - 2x - 1 \) (cóncava hacia arriba porque \( a = 2 > 0 \)) y \( y = -x^2 + 3x + 1 \) (cóncava hacia abajo porque \( a = -1 < 0 \)).
Ejemplo 4: Concavidad y Puntos de Inflexión de una Función Polinómica
Problema:
a) Halla los intervalos en los que la gráfica de \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, y el o los puntos de inflexión si los hay.
b) Utiliza una calculadora gráfica para graficar \( f \) y confirmar tus respuestas de la parte a).
Solución:
Encontremos las dos primeras derivadas de la función \( f \):
\[ f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \] \[ f''(x) = 12x^2 - 12x \]Halla los ceros de \( f''(x) \):
\[ 12x^2 - 12x = 0 \] \[ 12x(x - 1) = 0 \]Dos ceros: \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
Estudio del signo de \( f'' \):
Los dos ceros dividen el conjunto de los números reales en tres intervalos. Selecciona un valor para \( x \) en cada intervalo:
Utilizando la tabla de signos y el teorema anterior:
- En el intervalo \((-\infty, 0)\); \( f'' \) es positivo \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba.
- En el intervalo \((0, 1)\); \( f'' \) es negativo \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo.
- En el intervalo \((1, +\infty)\); \( f'' \) es positivo \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba.
La segunda derivada \( f'' \) cambia de signo en \( x = 0 \) y \( x = 1 \), por lo tanto la gráfica de \( f \) tiene dos puntos de inflexión: \( (0, f(0)) \) y \( (1, f(1)) \).
b) Confirmación Gráfica:
La gráfica de \( f \) (azul) y \( f'' \) (roja) se muestran a continuación. Siempre que \( f'' \) es negativa, \( f \) es cóncava hacia abajo; siempre que \( f'' \) es positiva, \( f \) es cóncava hacia arriba.
Ejemplo 5: Análisis a partir de la Gráfica de la Segunda Derivada
Problema: La gráfica de la segunda derivada \( f'' \) de la función \( f \) se muestra a continuación. Halla los intervalos donde \( f \) es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, y el o los puntos de inflexión si los hay.
Solución:
- En el intervalo \((-\infty, 2)\), la gráfica de \( f'' \) está por debajo del eje x (\( f'' < 0 \)), por lo tanto \( f \) es cóncava hacia abajo.
- En el intervalo \((2, +\infty)\), la gráfica de \( f'' \) está por encima del eje x (\( f'' > 0 \)), por lo tanto \( f \) es cóncava hacia arriba.
- En \( x = 2 \), el signo de \( f'' \) cambia y, por lo tanto, \( x = 2 \) es un punto de inflexión.
Ejemplo 6: Análisis a partir de la Gráfica de la Primera Derivada
Problema: La gráfica de la primera derivada \( f' \) de la función \( f \) se muestra a continuación. Halla los intervalos donde la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, y el o los puntos de inflexión si los hay.
Solución:
Utilizamos la gráfica de la primera derivada \( f' \) para hallar el signo de la segunda derivada (\( f'' = (f')' \)) y deducir la concavidad:
- En el intervalo \((-\infty, -2)\), \( f' \) decrece (\( f'' < 0 \)) \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo.
- En el intervalo \((-2, -1)\), \( f' \) crece (\( f'' > 0 \)) \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba.
- En el intervalo \((-1, 1)\), \( f' \) decrece (\( f'' < 0 \)) \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia abajo.
- En el intervalo \((1, +\infty)\), \( f' \) crece (\( f'' > 0 \)) \(\implies\) la gráfica de \( f \) es cóncava hacia arriba.
La concavidad de la gráfica de \( f \) cambia en \( x = -2 \), \( x = -1 \) y \( x = 1 \); por lo tanto, todos estos son puntos de inflexión.