Método del Factor Integrante (Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden)

Derivación paso a paso, fórmulas, ejemplos resueltos y ejercicios de práctica

Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden utilizando el método del factor integrante. Encontrarás una derivación clara de la fórmula, seguida de ejemplos completamente resueltos y ejercicios de práctica con respuestas.

Forma General

Una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]

donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones conocidas de \( x \).

Derivación del Factor Integrante

Multiplicamos ambos lados por una función desconocida \( u(x) \):

\[ u(x)\frac{dy}{dx} + u(x)P(x)y = u(x)Q(x) \]

Queremos que el lado izquierdo se convierta en la derivada de un producto. Usando la regla del producto:

\[ \frac{d(uy)}{dx} = y\frac{du}{dx} + u\frac{dy}{dx} \]

Para que esto coincida con la expresión anterior, requerimos:

\[ y\frac{du}{dx} = uP(x)y \]

Dividiendo por \( y \):

\[ \frac{du}{dx} = uP(x) \]

o

\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = P(x) \]

Integrando:

\[ \ln u = \int P(x)\,dx \]

Por lo tanto, el factor integrante es:

Fórmula del Factor Integrante: \[ u(x) = e^{\int P(x)\,dx} \]

Multiplicar la ecuación original por este factor da:

\[ \frac{d(uy)}{dx} = u(x)Q(x) \]

Integrando ambos lados:

\[ u(x)y = \int u(x)Q(x)\,dx \]

Finalmente:

Fórmula de la Solución General: \[ y = \frac{1}{u(x)}\int u(x)Q(x)\,dx \]

Ejemplos Resueltos

Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1

Resuelva:

\[ \frac{dy}{dx} - 2xy = x \]

Aquí \( P(x) = -2x \), \( Q(x) = x \).

\[ u(x) = e^{\int -2x\,dx} = e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y = \int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] \[ y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2} \]

Ejemplo 2

Resuelva para \( x > 0 \):

\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -2 \] \[ u(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x \] \[ xy = \int -2x\,dx = -x^2 + C \] \[ y = \frac{C}{x} - x \]

Ejemplo 3

\[ x\frac{dy}{dx} + y = -x^3,\quad x > 0 \]

Divida por \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -x^2 \] \[ u(x) = x \] \[ xy = \int -x^3\,dx = -\frac{x^4}{4} + C \] \[ y = \frac{C}{x} - \frac{x^3}{4} \]

Ejercicios y Respuestas

Problemas de Práctica y Soluciones

Resuelva:

  1. \(\dfrac{dy}{dx} + y = 2x + 5\)
  2. \(\dfrac{dy}{dx} + y = x^4\)

Respuestas:

  1. \( y = 2x + 3 + Ce^{-x} \)
  2. \( y = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 + Ce^{-x} \)

Más Referencias y Enlaces

Consejo: El método del factor integrante es fundamental en cálculo y aparece frecuentemente en física, ingeniería y matemáticas aplicadas.