¿Qué es el método de Runge-Kutta de 4to orden para ecuaciones diferenciales?

El método de Runge-Kutta de 4to orden es una técnica numérica para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma y' = f(x, y) con valor inicial y(x₀) = K utilizando incrementos ponderados k₁, k₂, k₃ y k₄.

Ecuaciones diferenciales – Calculadora del método de Runge-Kutta y tutorial

Acerca del método de Runge-Kutta

Esta es una herramienta interactiva para explorar el método numérico de Runge-Kutta. Este método se utiliza para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales y es muy potente para resolver una amplia gama de problemas en ciencia e ingeniería.

Considera la ecuación diferencial:

\( y' = f(x, y) \) con \( y(x_0) = K \) (valor inicial)

Deseamos aproximar la solución en un intervalo \( [a, b] \). Dividimos este intervalo en \( n \) subintervalos más pequeños de tamaño \( h \). El método de Runge-Kutta de 4to orden proporciona una aproximación de la siguiente manera:

Sea \( y_0 = K \) (valor inicial)
\( y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}[k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4] \) para \( i = 0, 1, \dots, n-1 \)

donde:
\( k_1 = h \cdot f(x_i, y_i) \)
\( k_2 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2}) \)
\( k_3 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2}) \)
\( k_4 = h \cdot f(x_i + h, y_i + k_3) \)

El error de truncamiento local es del orden de \( O(h^5) \) y, en principio, disminuye a medida que \( h \) disminuye.

Ecuaciones utilizadas en esta demostración

\( y' = x^2 \), \( y(0) = 1 \), solución exacta: \( y = \frac{x^3}{3} + 1 \)
\( y' = x^4 \), \( y(0) = 1 \), solución exacta: \( y = \frac{x^5}{5} + 1 \)
\( y' = e^x \), \( y(0) = 1 \), solución exacta: \( y = e^x \)
\( y' = \frac{1}{1+x} \), \( y(0) = 1 \), solución exacta: \( y = \ln(1+x) + 1 \)

Tutorial

Todas las ecuaciones diferenciales en esta demostración tienen el mismo valor inicial \( y(0) = 1 \) y soluciones exactas para comparación.

Selecciona la primera ecuación diferencial \( y' = x^2 \). Al inicio, \( h = 1.25 \) y \( n = 8 \).
Examina las soluciones exacta (curva azul) y aproximada (puntos rojos) en la gráfica.
Disminuye \( h \) aumentando \( n \) (o disminuye \( h \) directamente) y observa cómo mejora la aproximación.
Selecciona las otras ecuaciones diferenciales y analiza los resultados.
Compara los valores exactos y aproximados en la tabla debajo de la gráfica.

Calculadora de Runge-Kutta

Ecuación diferencial:

Tamaño de paso (h):

Número de pasos (n):

Resultados

Comparación entre la solución exacta y la aproximación de Runge-Kutta:

Paso (i)	xᵢ	yᵢ aproximado	y(xᵢ) exacto	Error	k₁	k₂	k₃	k₄

Recursos adicionales

Más referencias sobre ecuaciones diferenciales: