Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función incógnita y una o más de sus derivadas. Si \( y = f(x) \), entonces pueden aparecer expresiones como \( y' \), \( y'' \) u otras derivadas superiores en la ecuación.
Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de una ecuación diferencial se define como el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.
Ejemplos: Determinación del Orden
-
\( y' = 3x \)
La derivada más alta es \( y' \). Por lo tanto, se trata de una ecuación diferencial de primer orden. -
\( y'' + y' + y = 3x \)
La derivada más alta es \( y'' \). Por lo tanto, se trata de una ecuación diferencial de segundo orden. -
\( -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
La derivada más alta es \( y''' \). Por lo tanto, se trata de una ecuación diferencial de tercer orden.
Verificación de una Solución
Una función \( y = f(x) \) se denomina solución de una ecuación diferencial si, tras sustituir \( y \) y sus derivadas en la ecuación, ambos lados se vuelven iguales.
Ejemplo: Verificación de una Solución
Verifique que \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) es una solución de la ecuación diferencial:
\[ y' - 4y = -e^{3x} \]Primero calcule la derivada:
\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]Sustituya \( y \) y \( y' \) en el lado izquierdo:
\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]Esto coincide con el lado derecho de la ecuación diferencial. Por lo tanto, \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) es de hecho una solución.
Resolución de una Ecuación Diferencial Simple
La mayoría de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales implican encontrar la función incógnita.
Ejemplo: Hallar la Solución General
Resuelva:
\[ y' = 2x \]Integre ambos lados:
\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]Esto da:
\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]Combinando constantes:
\[ y = x^2 + C \]donde \( C = C_2 - C_1 \) es una constante arbitraria.