En cálculo, una ecuación diferencial separable es una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir como:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]lo cual se puede reescribir como:
\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]Las variables se pueden separar de modo que todos los términos que involucran a \( y \) aparezcan en un lado y todos los términos que involucran a \( x \) aparezcan en el otro. Estas ecuaciones por lo general se pueden resolver mediante integración directa. Este tutorial explica el método y proporciona ejemplos resueltos seguidos de ejercicios de práctica.
Cómo resolver ecuaciones diferenciales separables
- Reescribe la ecuación para que todos los términos de \( y \) estén en un lado y todos los términos de \( x \) en el otro.
- Integra ambos lados con respecto a sus respectivas variables.
- Resuelve para \( y \) si es posible para encontrar la solución general.
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{y} \]Solución:
Separa las variables:
\[ e^{-y} \, dy = 3x^2 \, dx \]Integra ambos lados:
\[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ -e^{-y} = x^3 + C \]Resuelve para \( y \):
\[ e^{-y} = -x^3 - C \] \[ -y = \ln(-x^3 - C) \] \[ y = -\ln(-x^3 - C) \]Esta es la solución general. Puedes verificarla derivando.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y \cos y} \]Solución:
Separa las variables:
\[ y \cos y \, dy = \sin x \, dx \]Integra:
\[ \int y \cos y \, dy = \int \sin x \, dx \]Usando integración por partes en el lado izquierdo (\( u = y, dv = \cos y \, dy \)):
\[ y \sin y + \cos y = -\cos x + C \]Esta solución es implícita; no hay una fórmula explícita simple para \( y(x) \).
Ejercicios de práctica
Ejercicios y Respuestas
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales separables:
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^2y^2\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)
Respuestas:
- \(\displaystyle y = \frac{1}{3x^3 + C}\)
- \(\displaystyle y = -\ln(x^2 + C)\)