Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) y graficar \( f \) y \( f' \) para \( x \in \mathbb{R} \).
Dado que el dominio de \( f \) es \( \mathbb{R} \) y \( \cos(x) \) es periódica, entonces \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) también es una función periódica.
A medida que \( x \) aumenta de \( 0 \) a \( \pi \), \( \cos(x) \) disminuye de \( 1 \) a \( -1 \), y \( \arccos(\cos(x)) \) aumenta de \( 0 \) a \( \pi \). De hecho, para \( x \in [0, \pi] \), \( \arccos(\cos(x)) = x \). A medida que \( x \) aumenta de \( [\pi, 2\pi] \), \( \cos(x) \) aumenta de \( -1 \) a \( 1 \), y \( \arccos(\cos(x)) \) disminuye de \( \pi \) a \( 0 \).
Dado que \( \cos(x) \) tiene un período de \( 2\pi \), \( \arccos(\cos(x)) \) también tiene un período de \( 2\pi \). La siguiente gráfica muestra las gráficas de \( \arccos(\cos(x)) \) y \( \sin(x) \) desde \( 0 \) hasta \( 2\pi \).
La siguiente gráfica muestra las gráficas de \( \arccos(\cos(x)) \) y \( \cos(x) \) durante 3 períodos.
Dominio de \( f \): \( (-\infty, +\infty) \)
Rango de \( f \): \( [0, \pi] \)
\( f(x) \) es una función compuesta, y la derivada se calcula usando la regla de la cadena de la siguiente manera. Sea \( u = \cos(x) \), por lo tanto \( f(x) = \arccos(u(x)) \).
Aplica la regla de la cadena de diferenciación:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arccos(u))}{du} = (-\sin(x)) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]
Sustituye \( u = \cos(x) \): \[ f'(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \]
Simplifica: \[ f'(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}} = \frac{\sin(x)}{|\sin(x)|} \]
A continuación se muestra \( \arccos(\cos(x)) \) en rojo y su derivada en azul. Nota que la derivada no está definida para valores de \( x \) en los que \( \sin(x) = 0 \), es decir, en \( x = k\pi \), donde \( k \) es un número entero. Para estos mismos valores de \( x \), \( \arccos(\cos(x)) \) tiene un valor máximo igual a \( \pi \) o un valor mínimo igual a \( 0 \).
Observa que aunque \( \arccos(\cos(x)) \) es continua para todos los valores de \( x \), su derivada no está definida en \( x = k\pi \).
