Encuentra la Derivada de f(x) = arccos(cos(x)) y grafícala
Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de f(x) = arccos(cos(x)) y graficar f y f' para x en R.
Gráficas de cos(x) y arccos(cos(x))
Dado que el dominio de f es R y cos(x) es periódica, entonces f(x) = arccos(cos(x)) también es una función periódica.
A medida que x aumenta de 0 a π, cos(x) disminuye de 1 a -1 y arccos(cos(x)) aumenta de 0 a π. De hecho, para x en [0 , π], arccos(cos(x)) = x. A medida que x aumenta desde [π , 2π], cos(x) aumenta de -1 a 1 y arccos(cos(x)) disminuye de π a 0.
Dado que cos(x) tiene un período de 2π, arccos(cos(x)) también tiene un período de 2π. La gráfica a continuación muestra las gráficas de arccos(cos(x)) y sin(x) de 0 a 2π.
La gráfica a continuación muestra las gráficas de arccos(cos(x)) y cos(x) sobre 3 períodos.
Dominio de f: (-∞ , + ∞)
Rango de f: [0 , π]
Derivada de f(x) = arccos(cos(x)) y su Gráfica
f(x) es una función compuesta y la derivada se calcula usando la regla de la cadena de la siguiente manera: Sea u = cos(x)
Entonces f(x) = arccos(u(x))
Aplica la regla de la cadena de diferenciación
f'(x) = du/dx d(arccos(u))/du = -sin(x) * (- 1 / √(1 - u2))
= sin(x) * 1 / (1 - cos2(x))
= sin(x) / √(sin2(x))
= sin(x) / | sin(x) |
A continuación se muestra arccos(cos(x)) en rojo y su derivada en azul. Observa que la derivada es indefinida para valores de x para los cuales sin(x) = 0, lo que significa en x = k*π, donde k es un entero. Para estos mismos valores de x, arccos(cos(x)) tiene ya sea un valor máximo igual a π o un valor mínimo igual a 0.
Observa que aunque arccos(cos(x)) es continua para todos los valores de x, su derivada es indefinida en x = k*π.
