Encuentre la derivada de f(x) = arccos (cos (x)) y grábela

Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de f (x) = arccos (cos (x) ) y grafica f y f ' para x en R.



Como el dominio de f es R y cos (x) es periódico, entonces f (x) = arccos (cos (x)) también es una función periódica.

A medida que x aumenta de 0 a π, cos (x) disminuye de 1 a -1 y arccos (cos (x)) aumenta de 0 a π. De hecho, para x en [0, π] arccos (cos (x)) = x. A medida que x aumenta desde [π, 2π], cos (x) aumenta de -1 a 1 y arccos (cos (x)) disminuye desde π hasta 0.

Como cos (x) tiene un período de 2 π, arccos (cos (x)) también tiene un período de 2 π. El siguiente gráfico muestra los gráficos de arccos (cos(x)) e sin(x) de 0 a 2π.



El siguiente gráfico muestra los gráficos de arccos(cos(x)) e cos (x) durante 3 períodos.

Gráfico de cos(x) e arcos(cos(x)) durante 3 períodos


Dominio de f: (-∞ , + ∞ )

Rango de f: [0 , π]

Derivative of f(x) = arccos(cos(x))

f (x) es una función compuesta y la derivada se calcula utilizando la
regla de cadena de la siguiente manera: dejar u = cos (x)

Por lo tanto, f (x) = arccos (u(x))

Aplicar la regla de la cadena de diferenciación

f '(x) = du / dx d (arccos (u)) / du = - sin(x) * (- 1 / √(1 - u
2 ))

= sin(x) * 1 / (1 - cos
2(x))

= sin(x) / sqrt(sin
2(x))

= sin(x) / | sin(x) |

A continuación se muestra arccos (cos(x)) en rojo y su derivada en azul. Tenga en cuenta que la derivada no está definida para los valores de x para los cuales sin(x) = 0, lo que significa que en x = k * π, donde k es un número entero. Para estos mismos valores de x, arccos(cos(x)) tiene un valor máximo igual a π o un valor mínimo igual a 0.

Tenga en cuenta que aunque arccos(cos (x)) es continuo para todos los valores de x, su derivada no está definida en x = k*π.

Graph of arccos(cos(x)) and its first derivative




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