Aprende a encontrar el área de una elipse utilizando coordenadas polares con derivaciones detalladas paso a paso y sustitución trigonométrica.
Ecuación de la elipse en coordenadas polares
La ecuación de una elipse centrada en el origen está dada por:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (I) \]La conversión de coordenadas rectangulares a polares está dada por:
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \]Sustituye las fórmulas de conversión en la ecuación (I):
\[ \dfrac{r^2 \cos^2 \theta}{a^2} + \dfrac{r^2 \sin^2 \theta}{b^2} = 1 \]Divide todos los términos de la ecuación anterior por \( \cos^2 \theta \) y simplifica:
\[ \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{r^2 \tan^2 \theta}{b^2} = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{\tan^2 \theta}{b^2} \right) = \sec^2 \theta \] \[ r^2 \left( \dfrac{b^2 + a^2 \tan^2 \theta}{a^2 b^2} \right) = \sec^2 \theta \]Despeja \( r^2 \):
Área de la elipse en coordenadas polares
El área \( A \) en coordenadas polares encerrada por una curva está dada por la fórmula:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 \, d\theta \]Sustituye \( r^2 \) de la elipse encontrada anteriormente en la integral de área:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + a^2 \tan^2 \theta} \, d\theta \qquad (II) \]Utiliza el método de sustitución trigonométrica que transforma \( a \tan \theta \) en \( b \tan \alpha \) para que el denominador pueda factorizarse y ocurran simplificaciones adicionales:
\[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]Diferencia ambos lados con respecto a \( \theta \), utilizando la regla de la cadena en el lado izquierdo:
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d\alpha}{d\theta} = a \sec^2 \theta \]Lo que da:
\[ \sec^2 \theta \, d\theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]O:
\[ d\theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \, d\alpha \qquad (IV) \]Límites de integración:
A partir de (III) anterior, podemos escribir \( \alpha = \arctan \left( \dfrac{a}{b} \tan \theta \right) \).
- Para \( \theta = 0 \), \( \alpha = 0 \)
- Para \( \theta = 2\pi \), \( \alpha = 2\pi \)
Sustituye \( d\theta \) y los límites de integración en la integral:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + b^2 \tan^2 \alpha} \left( \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \right) \, d\alpha \]Saca factor común \( b^2 \) en el denominador, saca todas las constantes fuera de la integral y simplifica:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]Utiliza la identidad trigonométrica \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \) en el denominador y simplifica:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} d\alpha \]Evalúa la integral:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \left[ \alpha \right]_0^{2\pi} \]Simplifica para obtener la fórmula final para el área de una elipse: