Integral del valor absoluto de \( x \): \( \int |x| \, dx \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral indefinida:

\[ \int |x| \, dx \]

Reescribe el integrando como un producto:

\[ \int |x| \, dx = \int 1 \cdot |x| \, dx \quad (I) \]

Recuerda que \( |x| = \sqrt{x^2} \) y su derivada con respecto a \( x \) está dada por:

\[ \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d(\sqrt{x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \]

Aplica la fórmula de integración por partes: \( \displaystyle \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) a la integral del lado derecho de (I).

Sean \( u' = 1 \) y \( v = |x| \), lo que da \( u = x \) y \( v' = \dfrac{x}{|x|} \) (del paso II).

Sustituye estos valores en la fórmula de integración por partes:

\[ = x |x| - \int x \cdot \dfrac{x}{|x|} \, dx \quad (III) \]

Simplifica el término del integrando \( x \cdot \dfrac{x}{|x|} \):

\[ x \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{|x|^2}{|x|} = |x| \]

Sustituye este integrando simplificado de nuevo en la ecuación (III):

\[ \int |x| \, dx = x |x| - \int |x| \, dx \]

Suma \( \displaystyle \int |x| \, dx \) a ambos lados:

\[ \int |x| \, dx + \int |x| \, dx = x |x| \] \[ 2 \int |x| \, dx = x |x| \]

Dividiendo por 2 y agregando la constante de integración \( C \), la respuesta final está dada por: