Evalúa integrales que involucran funciones logarítmicas naturales: un tutorial, con ejemplos y soluciones detalladas. También se presentan ejercicios con respuestas al final del tutorial. Es posible que desees utilizar la tabla de integrales y las propiedades de integrales en este sitio. En lo que sigue, \( C \) es una constante de integración y puede tomar cualquier valor constante.
Ejemplos con soluciones
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int \ln(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
Sea \( U = \ln(x) \) y \( V' = 1 \) y utiliza la integración por partes. Por lo tanto, \( U' = \dfrac{1}{x} \) y \( V = x \):
\[ \begin{aligned} \int \ln(x) \, dx &= \int U V' \, dx \\ &= U V - \int U' V \, dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + C \end{aligned} \]Comprobación: Deriva \( x \ln(x) - x + C \) y observa que obtienes \( \ln(x) \), que es el integrando de la integral dada.
Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int \ln(2x + 1) \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Sustitución: Sea \( u = 2x + 1 \), lo que conduce a \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) o \( du = 2 \, dx \) o \( dx = \dfrac{du}{2} \). La integral se convierte en:
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]Ahora utilizamos fórmulas de integrales para la función \( \ln(u) \) (encontradas en el Ejemplo 1):
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]Sustituye de nuevo \( u \) por \( 2x + 1 \):
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]donde \( K = C - \dfrac{1}{2} \) es una constante.
Comprobación: Deriva el resultado para verificar que coincide con el integrando.
Ejemplo 3: Evalúa \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
Solución al ejemplo 3:
Sea \( f(x) = \ln x \) y \( g'(x) = x \), lo que da \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) y \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \).
Utilizando la integración por partes \( \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx \), obtenemos:
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]Práctica: Deriva \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \) para obtener el integrando \( x \ln x \).
Ejemplo 4: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \)
Solución al ejemplo 4:
Sea \( u = \ln x \) de modo que \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) o \( du = \dfrac{1}{x} \, dx \). Después de la sustitución, la integral se puede escribir como:
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]Integra para obtener:
\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]Sustituye de nuevo \( u \) por \( \ln x \):
\[ = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C \]Como ejercicio, comprueba la respuesta final mediante derivación.
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales:
- \( \displaystyle \int x^3 \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int (x - \ln x) \, dx \)
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( \dfrac{x^4 \ln x}{4} - \dfrac{x^4}{16} + C \)
- \( \dfrac{x^2}{2} - x \ln x + x + C \)