Calcula integrales de funciones racionales utilizando la descomposición en fracciones parciales. Este tutorial presenta ejemplos con soluciones detalladas, incluidos casos en los que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Nota: En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
También puedes utilizar una calculadora en línea de descomposición en fracciones parciales para ayudar a descomponer funciones racionales.
Ejemplos con soluciones
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
Utilizamos la descomposición en fracciones parciales para descomponer el integrando en fracciones más simples:
\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{7}{x + 2} \]Ahora evaluamos la integral término por término:
\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \dfrac{2}{x - 1} \, dx - \int \dfrac{7}{x + 2} \, dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 7\ln|x + 2| + C \]Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Una descomposición en fracciones parciales del integrando da:
\[ \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} - \dfrac{1}{x + 3} \]Ahora evaluamos las integrales:
\[ \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx = \int \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} \, dx - \int \dfrac{1}{x + 3} \, dx \] \[ = \ln|x^2 + 2x + 9| - \ln|x + 3| + C \]Ejemplo 3: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx \)
Solución al ejemplo 3:
En este ejemplo, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Primero se realiza la división larga de polinomios:
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x - \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \]Una descomposición en fracciones parciales del término \( \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \) da:
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x + \dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} \]Utilizando lo anterior, la integral se puede escribir como:
\[ \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \int 2x \, dx + \int \dfrac{2}{x + 2} \, dx - \int \dfrac{3}{x + 3} \, dx \]Al evaluar las integrales se obtiene:
\[ = x^2 + 2\ln|x + 2| - 3\ln|x + 3| + C \]Ejercicios de práctica
Evalúa las siguientes integrales utilizando fracciones parciales. Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio 1: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \)
Solución:
Descompone en fracciones más simples:
\[ \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} \]Por lo tanto,
\[ \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \left(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2}\right) dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C \]Ejercicio 2: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx \)
Solución:
Descompone en fracciones más simples:
\[ \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} = -\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2} \]Por lo tanto,
\[ \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx = \int \left(-\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2}\right) dx \] \[ = \ln|2x^2 + x + 2| - 6\ln|x + 7| + C \]Ejercicio 3: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx \)
Solución:
Debido a que el grado del numerador es mayor, primero realiza la división de polinomios y luego descompone:
\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} = x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2} \]Por lo tanto,
\[ \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2}\right) dx \] \[ = \dfrac{x^3}{3} + 2\ln|x + 1| + 5\ln|x + 2| + C \]