Se presenta un tutorial para hallar integrales que involucran potencias pares de \( \sin(x) \), utilizando fórmulas de reducción de potencia. Los ejercicios con respuestas se encuentran al final de la página. Integrar potencias impares de seno es mucho más simple.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Repaso de las fórmulas de reducción de potencia
Para \( n \) un entero positivo, tenemos las siguientes fórmulas en trigonometría que se pueden utilizar para reducir la potencia de \( \sin(x) \):
- (a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
- (b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
- (c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
- (d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
- (e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
La idea principal es utilizar la identidad \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) para reducir la potencia y hacer que la integral se evalúe fácilmente:
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}\int 1 \, dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Utiliza las fórmulas de reducción de potencia para reescribir la integral:
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \] \[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \left( -9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x) \right) + C \]Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales. Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio (a): Evalúa \( \displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)
Solución:
Sustituye las fórmulas de reducción de potencia para \( \sin^6(x) \) y \( \sin^2(x) \):
\[ 8 \cdot \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - 2 \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{4}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - (1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - 1 + \cos(2x) \] \[ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \]Integrar término por término da como resultado:
\[ \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \]Ejercicio (b): Evalúa \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)
Solución:
Sustituye las fórmulas de reducción de potencia para \( \sin^4(x) \) y \( \sin^2(x) \):
\[ 4 \cdot \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}[3 - 4\cos(2x) + \cos(4x) + 1 - \cos(2x)] = \dfrac{1}{2}[4 - 5\cos(2x) + \cos(4x)] \] \[ = 2 - \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \]Integrar término por término da como resultado:
\[ 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \]