Integrales que Involucran \( \sin(x) \) con Potencia Par
Tutorial para encontrar integrales que involucran potencias pares de \( \sin(x) \), utilizando fórmulas de reducción de potencia. Al final de la página se presentan ejercicios con sus respuestas. Integrar potencias impares de seno es mucho más simple.
Fórmulas de Reducción de Potencia
Para \( n \) un entero positivo, tenemos las siguientes fórmulas en trigonometría que pueden ser usadas para reducir la potencia de \( \sin(x) \).
(a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
(b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
(c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
(d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
(e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
Ejemplos con Soluciones Detalladas
En lo que sigue, \( C \) es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evalúa la integral
\[ \int \sin^2(x) \, dx \]
Solución al Ejemplo 1:
La idea principal es usar la identidad \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) para reducir la potencia y, por lo tanto, facilitar la evaluación de la integral de la siguiente manera:
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}\int dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]
Ejemplo 2
Evalúa la integral
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \]
Solución al Ejemplo 2:
Usa las fórmulas de reducción de potencia para reescribir la integral de la siguiente manera
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \]
\[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \]
\[= \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}[-9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x)] + C \]
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales.
(a) \(\displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)
(b) \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
(a) \( \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \)
(b) \( 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \)
Más Referencias y Enlaces
Integrales y sus aplicaciones en cálculo.