Tutorial para hallar integrales que involucran potencias impares de \( \sin(x) \). Los ejercicios con respuestas se encuentran al final de la página. Integrar potencias pares de seno es generalmente más complejo y requiere fórmulas de reducción de potencia.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
La idea principal es reescribir la potencia de \( \sin(x) \) como el producto de un término con potencia 1 y un término con una potencia par:
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]Por lo tanto, la integral dada se puede escribir como:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) para escribir:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]Sea \( u = \cos(x) \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) o \( -du = \sin(x) \, dx \). Sustituyendo en la integral:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - 1) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - u + C \]Sustituye de nuevo \( u = \cos(x) \):
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Reescribe \( \sin^5(x) \) como \( \sin^4(x) \sin(x) \). Por lo tanto, la integral se convierte en:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]Utiliza la identidad \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) para reescribir \( \sin^4(x) \) en términos de potencias de \( \cos(x) \):
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]Sea \( u = \cos(x) \), lo que da \( du = -\sin(x) \, dx \) o \( -du = \sin(x) \, dx \). Sustituyendo en la integral:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]Desarrolla y calcula la integral de la derecha:
\[ = - \int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = - \left( u - \dfrac{2}{3}u^3 + \dfrac{1}{5}u^5 \right) + C = -\dfrac{1}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 - u + C \]Sustituye de nuevo \( u = \cos(x) \):
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales. Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio 1: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)
Solución:
Reescribe como \( \int \sin^6(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x) \, dx \).
Sea \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \):
\[ = -\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) \, du = - \left( u - u^3 + \dfrac{3}{5}u^5 - \dfrac{1}{7}u^7 \right) + C \]Sustituye de nuevo \( u = \cos(x) \):
\[ = \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \]Ejercicio 2: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)
Solución:
Reescribe como \( \int \sin^8(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^4 \sin(x) \, dx \).
Sea \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \):
\[ = -\int (1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8) \, du \] \[ = - \left( u - \dfrac{4}{3}u^3 + \dfrac{6}{5}u^5 - \dfrac{4}{7}u^7 + \dfrac{1}{9}u^9 \right) + C \]Sustituye de nuevo \( u = \cos(x) \) y reordena en potencias descendentes:
\[ = -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]