Integrales que Involucran \( \sin(x) \) con Potencia Impar
Tutorial para encontrar integrales que involucran potencias impares de \( \sin(x) \). Ejercicios con respuestas están al final de la página.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
En lo que sigue, C es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evalúa la integral
\[ \int \sin^3(x) \, dx \]
Solución al Ejemplo 1:
La idea principal es reescribir la potencia de \( \sin(x) \) como el producto de un término con potencia 1 y un término con una potencia par.
Ejemplo: \( \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \). Por lo tanto, la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]
Usa la identidad: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2(x) \) para escribir
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]
Ahora dejamos que \( u = \cos(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) o \( -du = \sin(x) \, dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener
\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du \]
Sustituye \( u \) por \( \cos(x) \) para obtener
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]
Ejemplo 2
Evalúa la integral
\[ \int \sin^5(x) \, dx \]
Solución al Ejemplo 2:
Reescribe \( \sin^5(x) \) de la siguiente manera: \( \sin^5(x) = \sin^4(x) \sin(x) \). Por lo tanto, la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]
Ahora usamos la identidad \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) para reescribir \( \sin^4(x) \) en términos de la potencia de \( \cos(x) \) y reescribimos la integral dada de la siguiente manera:
\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]
Ahora dejamos que \( u = \cos(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) o \( du = -\sin(x) \, dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener
\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]
Expande y calcula la integral a la derecha
\[\int \sin^5(x) \, dx = - \int (u^4 - 2u^2 + 1) \, du \]
\[ = -(\dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{2}{3}u^3 + u) + C \]
y finalmente
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)) + C \]
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales.
1. \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)
2. \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
1. \( \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \)
2. \( -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \)
Más Referencias y Enlaces
Integrales y sus aplicaciones en cálculo.