Se presentan problemas de líneas tangentes y sus soluciones utilizando primeras derivadas.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Ejemplos resueltos
Problema 1
Halla todos los puntos en la gráfica de \( y = x^3 - 3x \) donde la línea tangente es paralela al eje x (o línea tangente horizontal).
Mostrar solución al problema 1
Las líneas paralelas al eje x tienen una pendiente igual a \( 0 \). La pendiente de una línea tangente a la gráfica de \( y = x^3 - 3x \) está dada por la primera derivada \( y' \):
\[ y' = 3x^2 - 3 \]Hallamos todos los valores de \( x \) para los cuales \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ y } x = 1 \]Sustituimos estas coordenadas \( x \) de vuelta en la ecuación original \( y = x^3 - 3x \) para hallar las coordenadas \( y \) correspondientes:
- Para \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \implies (-1, 2) \)
- Para \( x = 1 \): \( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \implies (1, -2) \)
Los puntos en los cuales las líneas tangentes son paralelas al eje x son \( (-1, 2) \) y \( (1, -2) \).
Problema 2
Halla las constantes \( a \) y \( b \) para que la línea \( y = -3x + 4 \) sea tangente a la gráfica de \( y = ax^3 + bx \) en \( x = 1 \).
Mostrar solución al problema 2
Para hallar \( a \) y \( b \), necesitamos dos ecuaciones. Primero, el punto de tangencia se encuentra tanto en la curva \( y = ax^3 + bx \) como en la línea tangente \( y = -3x + 4 \) en \( x = 1 \). Por lo tanto, sus coordenadas \( y \) en \( x = 1 \) son iguales:
\[ a(1)^3 + b(1) = -3(1) + 4 \implies a + b = 1 \]Segundo, la pendiente de la línea tangente es \( -3 \), la cual debe ser igual a la primera derivada \( y' \) de \( y = ax^3 + bx \) en \( x = 1 \):
\[ y' = 3ax^2 + b \]En \( x = 1 \):
\[ 3a(1)^2 + b = -3 \implies 3a + b = -3 \]Resolvemos el sistema de ecuaciones:
- \( a + b = 1 \)
- \( 3a + b = -3 \)
Restar la primera ecuación de la segunda da \( 2a = -4 \implies a = -2 \). Sustituir \( a = -2 \) en \( -2 + b = 1 \) arroja \( b = 3 \).
Conclusión: \( a = -2 \) y \( b = 3 \).
Problema 3
Halla las condiciones para \( a \) y \( b \) de modo que la gráfica de \( y = a e^x + bx \) NO tenga ninguna línea tangente paralela al eje x (tangente horizontal).
Mostrar solución al problema 3
La pendiente de una línea tangente está dada por la primera derivada \( y' \) de \( y = a e^x + bx \):
\[ y' = a e^x + b \]Para hallar puntos con una línea tangente horizontal, igualamos \( y' = 0 \):
\[ a e^x + b = 0 \implies e^x = -\frac{b}{a} \]Dado que la función exponencial \( e^x > 0 \) para todos los números reales \( x \), esta ecuación no tiene soluciones reales cuando \( -\dfrac{b}{a} \le 0 \). Por lo tanto, la gráfica no tiene ninguna línea tangente horizontal si \( \dfrac{b}{a} \ge 0 \) (es decir, \( a \) y \( b \) tienen el mismo signo o \( b = 0 \)).
Ejercicios y soluciones
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Halla todos los puntos en la gráfica de \( y = x^3 - 3x \) donde la línea tangente es paralela a la línea \( y = 9x + 4 \).
Mostrar solución al ejercicio 1
Iguala \( y' = 3x^2 - 3 = 9 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \).
Evaluar \( y \) en \( x = 2 \) y \( x = -2 \) da los puntos \( (2, 2) \) y \( (-2, -2) \).
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Halla \( a \) y \( b \) para que la línea \( y = -2 \) sea tangente a la gráfica de \( y = ax^2 + bx \) en \( x = 1 \).
Mostrar solución al ejercicio 2
Utilizando las condiciones en \( x = 1 \): \( a(1)^2 + b(1) = -2 \) y \( 2a(1) + b = 0 \).
Resolviendo el sistema se obtiene \( a = 2 \) y \( b = -4 \).
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Halla las condiciones para \( a \), \( b \) y \( c \) de modo que la gráfica de \( y = ax^3 + bx^2 + cx \) tenga EXACTAMENTE UNA línea tangente paralela al eje x (línea tangente horizontal).
Mostrar solución al ejercicio 3
La derivada es \( y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \). Para exactamente una tangente horizontal, la cuadrática debe tener un discriminante de cero:
\[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 0 \implies 4b^2 - 12ac = 0 \]