Se presentan preguntas sobre la diferenciabilidad de funciones, con énfasis en funciones a trozos, junto con sus respuestas.
¿Qué funciones no son diferenciables?
Sea f una función cuyo gráfico es G. Por definición, el valor de la derivada de una función f en un cierto valor de x es igual a la pendiente de la tangente al gráfico G. Podemos decir que f no es diferenciable para cualquier valor de x donde una tangente no pueda 'existir' o la tangente exista pero sea vertical (la línea vertical tiene pendiente indefinida, por lo tanto, derivada indefinida).
A continuación se muestran gráficas de funciones que no son diferenciables en \( x = 0 \) por diversas razones.
Función f a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque no hay tangente al gráfico en \( x = 0 \) (¡intenta dibujar una tangente en x=0!).
Función g a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque no hay tangente al gráfico en \( x = 0 \) (¡intenta dibujar una tangente en x=0!).
Función h a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque hay un salto en el valor de la función y además la función no está definida, por lo tanto, no es continua en \( x = 0 \).
Función j a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \) porque aumenta indefinidamente (sin límite) en cada lado de \( x = 0 \) y además, por su fórmula, no está definida en \( x = 0 \) y, por lo tanto, es no continua en \( x=0 \).
Función k a continuación no es diferenciable porque la tangente en \( x = 0 \) es vertical y, por lo tanto, su pendiente, que es el valor de la derivada en \( x =0 \), es indefinida.
Teorema: Si una función f es diferenciable en \( x = a \), entonces es continua en \( x = a \).
Contrapositiva del teorema anterior: Si la función f no es continua en \( x = a \), entonces no es diferenciable en \( x = a \).
Errores comunes a evitar: Si f es continua en \( x = a \), entonces f es diferenciable en \( x = a \).
NOTA: Aunque las funciones f, g y k (cuyas gráficas se muestran arriba) son continuas en todas partes, no son diferenciables en \( x = 0 \).
Pruebas Analíticas de No Diferenciabilidad
Ejemplo 1: Demostrar analíticamente que la función f definida a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \).
\( f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ - x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \)
Solución al Ejemplo 1
Una forma de responder a la pregunta anterior es calcular la derivada en \( x = 0 \). Comenzamos encontrando el límite del cociente de diferencias. Dado que la función f está definida usando diferentes fórmulas, necesitamos encontrar la derivada en \( x = 0 \) usando los límites izquierdo y derecho.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
A la izquierda de \( x = 0 \) (\( x \lt 0 \)), la derivada se calcula de la siguiente manera:
\( f'(0) = \lim_{h\to 0^-} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{ -h - 0}{h} = -1 \)
A la derecha de \( x = 0 \) (\( x > 0 \)), la derivada se calcula de la siguiente manera:
\( f'(0) = \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h = 0 \)
Los límites a la izquierda y a la derecha de \( x = 0 \) no son iguales y, por lo tanto, \( f'(0) \) es indefinida y, en consecuencia, la función \( f \) no es diferenciable en \( x = 0 \).
La gráfica de la función \( f \) resuelta en este ejemplo se muestra a continuación y es fácil notar que no se puede trazar una tangente en \( x = 0 \) y, por lo tanto, \( f \) no es diferenciable en x = 0.