Se presentan las propiedades de los límites de funciones, en forma de teoremas, junto con algunos ejemplos de aplicación y soluciones detalladas.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teoremas y propiedades de los límites
Teorema: Si \( f \) y \( g \) son dos funciones y tanto \( \lim_{x \to a} f(x) \) como \( \lim_{x \to a} g(x) \) existen, entonces:
Propiedad 1: El límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]Propiedad 2: El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus límites.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \]Propiedad 3: El límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) \]Propiedad 4: El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites si el límite en el denominador no es igual a 0.
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{siempre que} \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]Propiedad 5: El límite de la enésima raíz de una función es la enésima raíz del límite de la función, si la enésima raíz del límite es un número real.
\[ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \]Si \( n \) es par, \( \lim_{x \to a} f(x) \) tiene que ser positivo.
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Calcula \( \lim_{x \to -2} h(x) \) donde \( h(x) \) está dada por:
\[ h(x) = x + 5 \]Mostrar solución al ejemplo 1
Podemos considerar \( h(x) \) como la suma de \( f(x) = x \) y \( g(x) = 5 \) y aplicar el teorema 1 anterior:
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = \lim_{x \to -2} x + \lim_{x \to -2} 5 \]\( x \) y \( 5 \) son funciones básicas y sus límites son conocidos:
\[ \lim_{x \to -2} x = -2 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -2} 5 = 5 \]Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = -2 + 5 = 3 \]Ejemplo 2
Calcula \( \lim_{x \to 10} h(x) \) donde \( h(x) \) está dada por:
\[ h(x) = x - 7 \]Mostrar solución al ejemplo 2
Podemos considerar \( h(x) \) como la diferencia de \( f(x) = x \) y \( g(x) = 7 \) y aplicar el teorema 2 anterior:
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = \lim_{x \to 10} x - \lim_{x \to 10} 7 \]\( x \) y \( 7 \) son funciones básicas con límites conocidos:
\[ \lim_{x \to 10} x = 10 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 10} 7 = 7 \]Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = 10 - 7 = 3 \]Ejemplo 3
Calcula \( \lim_{x \to -5} m(x) \) donde \( m(x) \) está dada por:
\[ m(x) = 3x \]Mostrar solución al ejemplo 3
Sea \( m(x) = f(x) \times g(x) \), donde \( f(x) = 3 \) y \( g(x) = x \), y aplica el teorema 3 anterior:
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = \lim_{x \to -5} 3 \times \lim_{x \to -5} x \]3 es una función constante y \( x \) es una función básica con límites conocidos:
\[ \lim_{x \to -5} 3 = 3 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -5} x = -5 \]Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]Ejemplo 4
Calcula \( \lim_{x \to 3} r(x) \) donde \( r(x) \) está dada por:
\[ r(x) = \dfrac{3 - x}{x} \]Mostrar solución al ejemplo 4
Sea \( r(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \), donde \( f(x) = 3 - x \) y \( g(x) = x \), y aplica el teorema 4 anterior:
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{\lim_{x \to 3} (3 - x)}{\lim_{x \to 3} x} \]\( 3 - x \) es la diferencia de dos funciones básicas y \( x \) es una función básica:
\[ \lim_{x \to 3} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 3} x = 3 \]Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{0}{3} = 0 \]Ejemplo 5
Calcula \( \lim_{x \to 5} m(x) \) donde \( m(x) \) está dada por:
\[ m(x) = \sqrt{2x - 1} \]Mostrar solución al ejemplo 5
Sea \( f(x) = 2x - 1 \) y halla su límite aplicando los teoremas de la diferencia y del producto anteriores:
\[ \lim_{x \to 5} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]Ahora aplicamos el teorema 5 ya que la raíz cuadrada de 9 es un número real:
\[ \lim_{x \to 5} m(x) = \sqrt{9} = 3 \]