Propiedades de los Límites de Funciones en Cálculo

Propiedades de los límites de funciones, en forma de teoremas, se presentan junto con algunos ejemplos de aplicaciones y soluciones detalladas.

Teorema: Si \( f \) y \( g \) son dos funciones y ambos \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) y \( \lim_{{x \to a}} g(x) \) existen, entonces

Propiedad 1: El límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites.

\[ \lim_{{x \to a}} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{{x \to a}} f(x) + \lim_{{x \to a}} g(x) \]

Ejemplo 1

Calcule \( \lim_{{x \to -2}} h(x) \) donde \( h(x) \) está dada por

\[ h(x) = x + 5 \]

Solución al Ejemplo 1:

Podemos considerar \( h(x) \) como la suma de \( f(x) = x \) y \( g(x) = 5 \) y aplicar el teorema 1 anterior

\[ \lim_{{x \to -2}} h(x) = \lim_{{x \to -2}} x + \lim_{{x \to -2}} 5 \]

\( x \) y \( 5 \) son funciones básicas y sus límites son conocidos.

\[ \lim_{{x \to -2}} x = -2 \]

\[ \lim_{{x \to -2}} 5 = 5 \]

Por lo tanto,

\[ \lim_{{x \to -2}} h(x) = -2 + 5 = 3 \]

Propiedad 2: El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus límites.

\[ \lim_{{x \to a}} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{{x \to a}} f(x) - \lim_{{x \to a}} g(x) \]

Ejemplo 2

Calcule \( \lim_{{x \to 10}} h(x) \) donde \( h(x) \) está dada por

\[ h(x) = x - 7 \]

Solución al Ejemplo 2:

Podemos considerar \( h(x) \) como la diferencia de \( f(x) = x \) y \( g(x) = 7 \) y aplicar el teorema 2 anterior

\[ \lim_{{x \to 10}} h(x) = \lim_{{x \to 10}} x - \lim_{{x \to 10}} 7 \]

\( x \) y \( 7 \) son funciones básicas con límites conocidos.

\[ \lim_{{x \to 10}} x = 10 \]

\[ \lim_{{x \to 10}} 7 = 7 \]

Por lo tanto,

\[ \lim_{{x \to 10}} h(x) = 10 - 7 = 3 \]

Propiedad 3: El límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites.

\[ \lim_{{x \to a}} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{{x \to a}} f(x) \times \lim_{{x \to a}} g(x) \]

Ejemplo 3

Calcule \( \lim_{{x \to -5}} m(x) \) donde \( m(x) \) está dada por

\[ m(x) = 3x \]

Solución al Ejemplo 3:

Sea \( m(x) = f(x) \times g(x) \), donde \( f(x) = 3 \) y \( g(x) = x \) y aplique el teorema 3 anterior

\[ \lim_{{x \to -5}} m(x) = \lim_{{x \to -5}} 3 \times \lim_{{x \to -5}} x \]

3 es una función constante y \( x \) es también una función básica con límites conocidos.

\[ \lim_{{x \to -5}} 3 = 3 \]

\[ \lim_{{x \to -5}} x = -5 \]

Por lo tanto,

\[ \lim_{{x \to -5}} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]

Propiedad 4: El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites si el límite en el denominador no es igual a 0.

\[ \lim_{{x \to a}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\lim_{{x \to a}} f(x)}}{{\lim_{{x \to a}} g(x)}} \] ; si \( \lim_{{x \to a}} g(x) \) no es igual a cero.

Ejemplo 4

Calcule \( \lim_{{x \to 3}} r(x) \) donde \( r(x) \) está dada por

\[ r(x) = \frac{{3 - x}}{x} \]

Solución al Ejemplo 4:

Sea \( r(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \), donde \( f(x) = 3 - x \) y \( g(x) = x \) y aplique el teorema 4 anterior

\[ \lim_{{x \to 3}} r(x) = \frac{{\lim_{{x \to 3}} (3 - x)}}{{\lim_{{x \to 3}} x}} \]

\( 3 - x \) es la diferencia de dos funciones básicas y \( x \) es también una función básica.

\[ \lim_{{x \to 3}} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \]

\[ \lim_{{x \to 3}} x = 3 \]

Por lo tanto,

\[ \lim_{{x \to 3}} r(x) = \frac{{0}}{{3}} = 0 \]

Propiedad 5: El límite de la raíz n-ésima de una función es la raíz n-ésima del límite de la función, si la raíz n-ésima del límite es un número real.

\[ \lim_{{x \to a}} \sqrt[n]{{f(x)}} = \sqrt[n]{{\lim_{{x \to a}} f(x)}} \]. Si \( n \) es par, \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) debe ser positivo.

Ejemplo 5

Calcule \( \lim_{{x \to 5}} m(x) \) donde \( m(x) \) está dada por

\[ m(x) = \sqrt{{2x - 1}} \]

Solución al Ejemplo 5:

Sea \( f(x) = 2x - 1 \) y encuentre su límite aplicando los teoremas de diferencia y producto anteriores

\[ \lim_{{x \to 5}} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]

Aplicamos ahora el teorema 5 ya que la raíz cuadrada de 9 es un número real.

\[ \lim_{{x \to 5}} m(x) = \sqrt{{9}} = 3 \]

Más Enlaces sobre Límites

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