Extremos, Concavidad y Puntos de Inflexión - Parte (1)
Preguntas de cálculo con soluciones completamente detalladas se presentan a continuación.
Aplicaciones de la primera y segunda
derivada
incluyen la determinación de intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales,
concavidad,
y puntos de inflexión.
Pregunta 1
Para la función
\[
f(x) = (x + 3)(x - 2)^3
\]
encuentre:
- a) los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \)
- b) los valores de \( x \) para los cuales \( f \) tiene un máximo o mínimo local
- c) los intervalos de concavidad y el(los) punto(s) de inflexión
Solución a la Pregunta 1
-
Primera derivada:
\[
f'(x) = (x - 2)^3 + 3(x + 3)(x - 2)^2
\]
\[
f'(x) = (x - 2)^2(4x + 7)
\]
-
Los puntos críticos se obtienen de \( f'(x) = 0 \):
\[
x = 2 \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{4}
\]
-
La tabla de signos de \( f'(x) \) se muestra a continuación:
| \(x\) |
\((-\infty,-\tfrac{7}{4})\) |
\(-\tfrac{7}{4}\) |
\((-\tfrac{7}{4},2)\) |
\(2\) |
\((2,+\infty)\) |
| \((x-2)^2\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(4x+7\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
| \(f'(x)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f(x)\) |
\(\searrow\) |
\(\min\) |
\(\nearrow\) |
\(\text{sin extr.}\) |
\(\nearrow\) |
-
De la tabla de signos, \( f \) es decreciente en
\[
(-\infty, -\tfrac{7}{4})
\]
y creciente en
\[
(-\tfrac{7}{4}, +\infty)
\]
-
b) Dado que \( f'(x) \) cambia de signo en \( x = -\tfrac{7}{4} \), la función tiene un mínimo local en
\[
x = -\tfrac{7}{4}
\]
Aunque \( f'(2) = 0 \), no hay un extremo local en \( x = 2 \) porque el signo de \( f'(x) \) no cambia.
-
c) Segunda derivada:
\[
f''(x) = 2(x - 2)(4x + 7) + 4(x - 2)^2
\]
\[
f''(x) = 6(x - 2)(2x + 1)
\]
-
La tabla de signos de \( f''(x) \) se muestra a continuación:
| \(x\) |
\((-\infty,-\tfrac{1}{2})\) |
\(-\tfrac{1}{2}\) |
\((-\tfrac{1}{2},2)\) |
\(2\) |
\((2,+\infty)\) |
| \((x-2)\) |
\(-\) |
\(-\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \((2x+1)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
| \(f''(x)\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f(x)\) |
\(\text{cóncava hacia arriba}\) |
\(\text{inflexión}\) |
\(\text{cóncava hacia abajo}\) |
\(\text{inflexión}\) |
\(\text{cóncava hacia arriba}\) |
-
La gráfica de \( f \) es:
- cóncava hacia arriba en \( (-\infty, -\tfrac{1}{2}) \) y \( (2, +\infty) \)
- cóncava hacia abajo en \( (-\tfrac{1}{2}, 2) \)
Pregunta 2
Dada
\[
f(x) = e^{x^2 - x}
\]
encuentre:
- a) los intervalos de crecimiento y decrecimiento
- b) el(los) valor(es) de \( x \) donde \( f \) tiene un extremo local
- c) los intervalos de concavidad y cualquier(es) punto(s) de inflexión
Solución a la Pregunta 2
-
Primera derivada:
\[
f'(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}
\]
-
El único punto crítico es:
\[
x = \tfrac{1}{2}
\]
La tabla de signos de \( f'(x) \) se muestra a continuación:
| \(x\) |
\((-\infty,\tfrac{1}{2})\) |
\(\tfrac{1}{2}\) |
\((\tfrac{1}{2},+\infty)\) |
| \(e^{x^2-x}\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
| \(2x-1\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f'(x)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
| \(f(x)\) |
\(\text{decreciente}\) |
\(\min\) |
\(\text{creciente}\) |
-
La función es decreciente en \( (-\infty, \tfrac{1}{2}) \) y creciente en \( (\tfrac{1}{2}, +\infty) \).
-
b) Dado que \( f'(x) \) cambia de signo en \( x = \tfrac{1}{2} \), la función tiene un mínimo local en
\[
x = \tfrac{1}{2}
\]
-
c) Segunda derivada:
\[
f''(x) = 2e^{x^2 - x} + (2x - 1)^2 e^{x^2 - x}
\]
\[
f''(x) = \big[2 + (2x - 1)^2\big] e^{x^2 - x}
\]
-
Dado que \( f''(x) > 0 \) para todo \( x \), la gráfica es cóncava hacia arriba en \( (-\infty, +\infty) \) y no tiene ningún punto de inflexión.
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