Preguntas sobre Primera y Segunda Derivada con Respuestas (Parte 2)
Preguntas de cálculo con soluciones detalladas se presentan a continuación.
Se analiza el comportamiento gráfico de una función \( f \), su primera derivada \( f'(x) \) y su segunda derivada \( f''(x) \).
Pregunta 1
Las gráficas de una función \( f \), su primera derivada \( f'(x) \) y su segunda derivada \( f''(x) \) se muestran a continuación.
Identifica qué gráfica representa a \( f \), \( f'(x) \) y \( f''(x) \).
Solución a la Pregunta 1
-
La gráfica (I) está completamente por encima del eje \(x\) ( \( y>0 \) ), por lo tanto, no puede representar la derivada de las gráficas (II) o (III), ya que ambas muestran intervalos de crecimiento y decrecimiento, lo que requiere cambios de signo en la derivada.
Por lo tanto, la gráfica (I) representa la función \( f \).
-
La gráfica (I) tiene un máximo en \( x = 0 \). Por lo tanto, \( f'(0) = 0 \).
Entre las gráficas restantes, solo la gráfica (III) cruza el eje \(x\) en \( x = 0 \).
En consecuencia, la gráfica (III) representa \( f'(x) \).
-
La gráfica (II) debe representar \( f''(x) \).
Es negativa cerca de \( x = 0 \), lo que indica que \( f \) es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que coincide con la forma de la gráfica (I) alrededor de \( x = 0 \).
Pregunta 2
La gráfica de la primera derivada \( f'(x) \) de una función \( f \) se muestra a continuación.
a) ¿Para qué valores de \( x \) es \( f \) creciente?
b) ¿Para qué valores de \( x \) es \( f \) decreciente?
c) ¿En qué valores de \( x \) tiene \( f \) un máximo o mínimo local?
d) ¿Dónde es la gráfica de \( f \) cóncava hacia arriba? ¿Cóncava hacia abajo?
e) ¿Dónde están los puntos de inflexión de \( f \)?
Solución a la Pregunta 2
-
a)
La función \( f \) es creciente donde \( f'(x) > 0 \):
\[
(-\infty, -6.6) \cup (0, 3.6)
\]
-
b)
La función \( f \) es decreciente donde \( f'(x) < 0 \):
\[
(-6.6, 0) \cup (3.6, +\infty)
\]
-
c)
Los máximos locales ocurren donde \( f'(x) = 0 \) y cambia de positivo a negativo:
\[
x = -6.6 \quad \text{y} \quad x = 3.6
\]
Los mínimos locales ocurren donde \( f'(x) = 0 \) y cambia de negativo a positivo:
\[
x = 0
\]
-
d)
La concavidad se determina por el signo de \( f''(x) \).
-
\( f'(x) \) es creciente en \( (-4, 2) \), por lo tanto \( f''(x) > 0 \) y \( f \) es cóncava hacia arriba en:
\[
(-4, 2)
\]
-
\( f'(x) \) es decreciente en \( (-\infty, -4) \cup (2, +\infty) \), por lo tanto \( f''(x) < 0 \) y \( f \) es cóncava hacia abajo en estos intervalos.
-
e)
Los puntos de inflexión ocurren donde \( f''(x) = 0 \) y cambia de signo.
Según la gráfica, estos ocurren en:
\[
x = -4 \quad \text{y} \quad x = 2
\]
Pregunta 3
La gráfica de la segunda derivada \( f''(x) \) de una función \( f \) se muestra a continuación.
a) ¿Dónde tiene \( f'(x) \) un máximo o mínimo local?
b) ¿Dónde es \( f \) cóncava hacia arriba?
c) ¿Dónde es \( f \) cóncava hacia abajo?
d) ¿Dónde están los puntos de inflexión de \( f \)?
Solución a la Pregunta 3
-
a)
\( f'(x) \) tiene un máximo local donde \( f''(x) = 0 \) y cambia de positivo a negativo:
\[
x = 1
\]
\( f'(x) \) tiene mínimos locales donde \( f''(x) = 0 \) y cambia de negativo a positivo:
\[
x = -2 \quad \text{y} \quad x = 3
\]
-
b)
\( f \) es cóncava hacia arriba donde \( f''(x) > 0 \):
\[
(-2, 1) \cup (3, +\infty)
\]
-
c)
\( f \) es cóncava hacia abajo donde \( f''(x) < 0 \):
\[
(-\infty, -2) \cup (1, 3)
\]
-
d)
Los puntos de inflexión ocurren donde \( f''(x) \) cambia de signo:
\[
x = -2,\; 1,\; 3
\]
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