Aproximación Gráfica de Derivadas - Parte (3)
Aproxima gráficamente la primera
derivada
de una función \( f \) a partir de su gráfica. Cada pregunta va seguida de una solución detallada que explica el razonamiento.
Pregunta 1
A continuación se muestra la gráfica de una función \( f \).
a) Suponiendo que los únicos extremos de \( f \) son los que se muestran en la gráfica, ¿para qué valores de \( x \) es
\[
f'(x) = 0 \, ?
\]
b) Suponiendo que la gráfica de \( f \) asciende indefinidamente hacia la izquierda y hacia la derecha, determina los intervalos donde
\[
f'(x) < 0 \quad \text{y} \quad f'(x) > 0 .
\]
Solución a la Pregunta 1
-
a) La gráfica de \( f \) tiene dos mínimos locales en
\[
x = -2 \quad \text{y} \quad x = 4
\]
y un máximo local en
\[
x = 1 .
\]
Por lo tanto,
\[
f'(x) = 0 \quad \text{para} \quad x = -2,\; 1,\; 4 .
\]
-
b) La función \( f \) es decreciente en los intervalos
\[
(-\infty, -2) \quad \text{y} \quad (1, 4),
\]
por lo que
\[
f'(x) < 0 \quad \text{en estos intervalos.}
\]
-
La función \( f \) es creciente en
\[
(-2, 1) \quad \text{y} \quad (4, +\infty),
\]
por lo tanto
\[
f'(x) > 0 \quad \text{en estos intervalos.}
\]
Pregunta 2
A continuación se muestra la gráfica de una función \( f \). Suponiendo que \( f \) es una función impar y tiene asíntotas horizontales, aproxima gráficamente la gráfica de su primera derivada \( f'(x) \).
Solución a la Pregunta 2
-
La función \( f \) es creciente para todo \( x \), por lo que
\[
f'(x) > 0 \quad \text{para todo } x,
\]
y la gráfica de \( f'(x) \) se encuentra por encima del eje \( x \).
-
El valor \( f'(a) \) es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (a, f(a)) \).
A partir de la gráfica, la pendiente parece ser mayor cerca del origen \( (0,0) \).
-
Usando los puntos \( A(x_A, y_A) \) y \( C(x_C, y_C) \) cerca del origen,
\[
m_0 \approx \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}
= \frac{0.5 - (-0.5)}{0.5 - (-0.5)} = 1 .
\]
-
Usando los puntos \( C \) y \( E \), la pendiente cerca del punto \( D \) se aproxima por
\[
m_1 \approx \frac{1 - 0.5}{1.5 - 0.5} = 0.5 .
\]
-
Como \( f \) tiene asíntotas horizontales,
\[
\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0 .
\]
-
Combinando esta información, una aproximación razonable de \( f'(x) \) se muestra a continuación en azul.
Pregunta 3
Aproxima la gráfica de la primera derivada \( f'(x) \) de la función \( f \) que se muestra a continuación.
Asume que la gráfica de \( f \) es simétrica con respecto a la línea vertical
\[
x = -0.5
\]
y que \( y = 0 \) es una asíntota horizontal.
Solución a la Pregunta 3
-
La derivada satisface
\[
f'(x) = 0 \quad \text{en} \quad x = -2,\; -0.5,\; 1,
\]
que corresponden a los extremos de \( f \).
-
Usando los puntos \( D, E, F \), la pendiente en el punto \( E \) se aproxima por
\[
m_0 \approx \frac{0.8 - 0.4}{-2.4 - (-2.9)} = 0.8 .
\]
-
Usando el siguiente grupo de tres puntos a la derecha se obtiene una pendiente cercana a
\[
-0.8 .
\]
Estos valores nos permiten trazar puntos aproximados de \( f'(x) \).
-
La derivada es positiva donde \( f \) es creciente:
\[
(-\infty, -2) \quad \text{y} \quad (-0.5, 1).
\]
-
La derivada es negativa donde \( f \) es decreciente:
\[
(-2, -0.5) \quad \text{y} \quad (1, +\infty).
\]
-
Una posible aproximación de \( f'(x) \) se muestra a continuación en azul:
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