Problemas de Recta Tangente en Cálculo – Soluciones Detalladas (Parte 5)
Problemas de cálculo enfocados en rectas tangentes, presentados con explicaciones completas y soluciones paso a paso.
Pregunta 1
Encuentra el parámetro \( p \) tal que la recta
\[
y = 3x
\]
sea tangente a la curva
\[
y = x^2 + p.
\]
Solución
-
La pendiente de la recta tangente es \( 3 \).
La derivada de la curva es
\[
y' = 2x.
\]
-
En el punto de tangencia:
\[
2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}.
\]
-
El valor de \( y \) correspondiente en la recta:
\[
y = 3\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2}.
\]
-
Dado que el punto está en la curva:
\[
\frac{9}{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + p.
\]
-
Resolviendo para \( p \):
\[
p = \frac{9}{4}.
\]
Pregunta 2
a) Encuentra \( p \) para que la curva
\[
y = x^3 + 2x^2 + px + 3
\]
tenga exactamente una recta tangente horizontal.
b) Encuentra el valor de \( x \) donde ocurre esta tangente.
Solución
-
Una tangente horizontal ocurre cuando
\[
y' = 0.
\]
-
Calcula la derivada:
\[
y' = 3x^2 + 4x + p.
\]
-
Para que tenga exactamente una solución, el discriminante debe ser cero:
\[
D = 4^2 - 4(3)(p) = 16 - 12p = 0.
\]
-
Resolviendo para \( p \):
\[
p = \frac{4}{3}.
\]
-
Con \( D = 0 \), la solución para \( x \) es:
\[
x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.
\]
Pregunta 3
Encuentra \( p \) y \( q \) tales que la recta
\[
y = 2x
\]
sea tangente a la curva
\[
y = px^2 + qx + 2
\]
en \( x = 3 \).
Solución
-
El punto de tangencia está en la recta:
\[
(3,\, 2 \cdot 3) = (3,6).
\]
-
Como también está en la curva:
\[
6 = 9p + 3q + 2.
\]
-
La derivada de la curva es:
\[
y' = 2px + q.
\]
-
En \( x = 3 \), la pendiente es igual a la pendiente de la recta:
\[
2 = 6p + q.
\]
-
Resuelve el sistema:
\[
\begin{cases}
9p + 3q = 4 \\
6p + q = 2
\end{cases}
\]
-
Solución:
\[
p = \frac{2}{9}, \quad q = \frac{2}{3}.
\]
Pregunta 4
Encuentra \( a \) y \( b \) tales que la recta
\[
y = ax + b
\]
sea tangente a la curva
\[
y = x^2 + 3x + 2
\]
en \( x = 3 \).
Solución
-
Derivada de la curva:
\[
y' = 2x + 3.
\]
-
Pendiente en \( x = 3 \):
\[
a = 2(3) + 3 = 9.
\]
-
Punto de tangencia:
\[
y = 3^2 + 3(3) + 2 = 20.
\]
-
Sustituye en la ecuación de la recta:
\[
20 = 9(3) + b.
\]
-
Resuelve:
\[
b = -7.
\]
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