Funciones Lineales

Definición y Propiedades de las Funciones Lineales

Las funciones lineales son algunas de las funciones más básicas en matemáticas, pero son extremadamente importantes de entender porque se aplican ampliamente en electrónica, física, economía, química,... También varios conceptos en la teoría de funciones y temas relacionados dependen fuertemente del concepto de funciones lineales.
Una función lineal tiene la forma
\[ f(x) = a x + b \] donde \( f \) es el nombre de la función, \( x \) la variable y \( a \) y \( b \) son constantes tales que \( a \ne 0\).
La función lineal, como se definió anteriormente, da una salida para cualquier valor de la variable \( x \) en el conjunto de los números reales. Por lo tanto, el dominio de cualquier función lineal es el conjunto de todos los números reales, a menos que se defina lo contrario.
La gráfica de una función lineal es una línea con intersección en y en el punto \( (0 , b) \) y pendiente \( a \). Si tomamos dos puntos cualesquiera \( P_1 \) y \( P_2 \) en la gráfica de la función lineal \( f \), la pendiente \( a \) viene dada por:
\[ a = \dfrac{Elevación}{Avance} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Si \( a \gt 0 \), la línea sube de izquierda a derecha y decimos que \( f \) es una función creciente a medida que \(x \) aumenta.
Si \( a \lt 0 \), la línea baja de izquierda a derecha y decimos que \( f \) es una función decreciente a medida que \(x \) aumenta.
El rango de una función lineal con \( a \ne 0\) es el conjunto de todos los números reales.
El dominio y el rango de una función lineal se escriben en forma de intervalos de la siguiente manera:
Dominio: \( (-\infty , + \infty ) \)
Rango: \( (-\infty , + \infty ) \)

Ejemplo 1 Graficar Funciones Lineales
a) Grafica las funciones lineales dadas por \( f(x) = x + 3 \) y \( g(x) = 0.5 x + 3 \) en el mismo sistema de coordenadas.
b) ¿Cuál de las dos funciones aumenta más rápido?

Solución al Ejemplo 1
a)
La gráfica de una función lineal es una línea y solo se necesitan dos puntos para graficarla.
Encontremos los valores de las funciones en \( x = 0 \) y \( x = 2 \) porque solo necesitamos dos puntos para graficar una función lineal.

Ejemplo 2 Encontrar Funciones Lineales
Encuentra la función lineal \( f \) tal que \( f(-1) = 4 \) y \( f(2) = 1\).

Solución al Ejemplo 2
Siendo una función lineal, \( f \) es de la forma: \( f(x) = a x + b \) y por lo tanto necesitamos encontrar las constantes \( a \) y \( b \).
\( f(-1) = 3 \) da la ecuación: \( a(-1) + b = 4 \)
\( f(2) = - 2\) da la ecuación: \( a(2) + b = 1 \)
Ahora resolvemos el sistema de las dos ecuaciones anteriores para encontrar \( a \) y \( b \). Reescribimos el sistema de ecuaciones como
\( \begin{cases} -a + b = 4 \\ 2 a + b = 1 \end{cases} \)
Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \( b \)
\( (2a + b) - (-a+b) = 1 - 4 \)
Simplificamos para obtener
\( 3 a = - 3 \)
\( a = - 1 \)
Sustituimos \( a \) por \( - 1 \) en la ecuación 1 y resolvemos para \( b \).
\( (-1)(-1) + b = 4 \)
\( b = 3 \)
La función está dada por
\( f(x) = - x + 3 \)

Ejemplos de Aplicaciones de Funciones Lineales

1. En electrónica, el voltaje \( V \) a través de una resistencia de resistencia \( R \) está dado por \[ V = R I \] donde \( I \) es la corriente a través de la resistencia.
   
2. En física, una fuerza resultante \( F \) que actúa sobre un objeto de masa \( M \) está dada por \[ F = M a \] donde \( a \) es la aceleración del objeto.
   
3. En química, para convertir grados Celsius \( C \) a grados Kelvin \( K \), usamos la fórmula \[ K = C + 273.15 \]
   
4. La distancia \( d \) recorrida por un objeto que se mueve a una velocidad promedio \( s \) durante un período de tiempo \( t \) está dada por \[ d = s t \]
   
5. En economía, el costo total \( C \) de \( x \) unidades está dado por \[ C = a x + C_0 \] donde \( a \) es el costo por unidad y \( C_0 \) es el costo fijo.

Tutorial Interactivo para Explorar Más a Fondo las Funciones Lineales

Las propiedades de las gráficas de funciones lineales se exploran de forma interactiva mediante una aplicación. La exploración se lleva a cabo cambiando los parámetros \( a \) y \( b \) incluidos en la función lineal \[ f(x) = a x + b\].
Las respuestas a las preguntas incluidas en el tutorial se encuentran al final de la página.

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1 - Si establecemos \( x = 0 \) en \( f(x) = a x + b \), obtenemos \( f(0) = b \). La intersección en y de la gráfica de \( f \) es el punto con coordenadas \( (0 , b) \).
2 - Si \( a \) es positivo, \( f \) es una función creciente en el intervalo \( (-\infty; , +\infty) \).
Si \( a \) es negativo, \( f \) es una función decreciente en el intervalo \( (-\infty; , +\infty) \).
Si \( a \) es igual a \( 0 \), \( f \) es una función constante en el intervalo \( (-\infty; , +\infty) \).
3 - La gráfica de la función \( f \) es una línea, de ahí el nombre de función lineal. El parámetro \( a \) representa la pendiente de esta línea.
4 - El dominio de todas las funciones lineales es el conjunto de todos los números reales representado por el intervalo \( (-\infty; , +\infty) \).
5 - Si \( a \) no es igual a \( 0 \), el rango de cualquier función lineal es el conjunto de todos los números reales representado por el intervalo \( (-\infty; , +\infty) \).
Si \( a \) es igual a \( 0 \), \( f(x) = b\) es una función constante y su rango es el conjunto \( \{b\} \).

Más Referencias y Enlaces

• Graficación de Funciones Lineales
• Problemas de Funciones Lineales con Soluciones
• Solucionador para Analizar y Graficar una Función Lineal