Operaciones con Funciones

Las operaciones con funciones se presentan con ejemplos que incluyen soluciones detalladas y explicaciones. Resuelve y comprende los ejemplos antes de intentar las preguntas, que también tienen soluciones detalladas.

Definición de Operaciones con Funciones y su Dominio

Las funciones con salida real pueden combinarse mediante suma, resta, multiplicación y división, tal como hacemos con los números reales.
Sean \( f \) y \( g \) dos funciones con salidas reales. Las funciones \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) y \( \dfrac{f}{g} \) se definen como sigue:
1) \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \) ; suma de dos funciones
2) \( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \) ; resta de dos funciones
3) \( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \) ; multiplicación de dos funciones, producto de dos funciones
4) \( \left(\dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \) ; división de dos funciones, cociente de dos funciones

El dominio de \( f + g \), \( f - g \) y \( f \cdot g \) es el conjunto \( D \) de todos los valores de \( x \) que son comunes al dominio de \( f \) y al dominio de \( g \). Si \( D_f \) es el dominio de \( f \) y \( D_g \) es el dominio de \( g \), entonces \( D \) es la intersección de \( D_f \) y \( D_g \).
\[ D = D_f \cap D_g \]
El dominio de \( \dfrac{f}{g} \) es el conjunto \( D \) tal que \( g(x) \ne 0 \).
Nota: Dos funciones también pueden combinarse mediante la composición de funciones, la cual se estudia en otro lugar de este sitio web.

Ejemplos con Soluciones y Explicaciones sobre Operaciones con Funciones

Ejemplo 1

La función \( f \) está dada por una tabla de valores y la función \( g \) está graficada a continuación.

\( x \)	\( f(x) \)
-2	-4
-1	10
0	7
1	8
2	11

Evalúa, si es posible, lo siguiente:
a) \( (f + g)(2) \), b) \( (g - f)(0) \), c) \( (f \cdot g)(-2) \), d) \( (g \cdot f)(1) \), e) \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(1) \), f) \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(-1) \)

Solución al Ejemplo 1

a) \( (f + g)(2) = f(2) + g(2) \)
Usa la tabla de \( f \) para leer los valores de \( f(2) \) y la gráfica de \( g \) para leer \( g(2) \) al entero más cercano.
\( f(2) = 11 \), \( g(2) = -3 \)
Sustituye y evalúa
\( (f + g)(2) = f(2) + g(2) = 11 - 3 = 8 \)
b) \( (g - f)(0) = g(0) - f(0) = -3 - 7 = -10 \)
c) \( (f \cdot g)(-2) = f(-2) \cdot g(-2) = (-4)(5) = -20 \)
d) \( (g \cdot f)(1) = g(1) \cdot f(1) = (-4)(8) = -32 \)

e) \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(1) = \dfrac{f(1)}{g(1)} = \dfrac{8}{-4} = -2 \)

f) \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(-1) = \dfrac{f(-1)}{g(-1)} = \dfrac{10}{0} = \text{no definido} \), división por cero no permitida.

Ejemplo 2

Sean \( f(x) = 2x^2 + 3x + 1 \) y \( g(x) = 3x + 2 \).
a) Evalúa \( (f + g)(0) \), \( (f - g)(-1) \), \( (f \cdot g)(1) \), \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(2) \) y \( \left(\dfrac{g}{f}\right)(-1) \)
b) Encuentra las funciones \( (f + g)(x) \), \( (f - g)(x) \), \( (f \cdot g)(x) \) y \( \left( \dfrac{f}{g} \right)(x) \).

Solución al Ejemplo 2

a)
\( (f + g)(0) = f(0) + g(0) = (2(0)^2 + 3(0) + 1) + (3(0) + 2) = 3 \)
\( (f - g)(-1) = f(-1) - g(-1) = (2(-1)^2 + 3(-1) + 1) - (3(-1) + 2) = 1 \)
\( (f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = (2(1)^2 + 3(1) + 1) \cdot (3(1)+2) = 30 \)

\( \left(\dfrac{f}{g}\right)(2) = \dfrac{f(2)}{g(2)} = \dfrac{2(2)^2 + 3(2) + 1}{3(2)+2} = \dfrac{15}{8} \)

\( \left(\dfrac{g}{f}\right)(-1) = \dfrac{g(-1)}{f(-1)} = \dfrac{3(-1) + 2}{2(-1)^2 + 3(-1) + 1} = \dfrac{-1}{0} = \text{no definido} \)
b)
\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x^2 + 3x + 1) + (3x + 2) = 2x^2 + 6x + 3 \)
\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 3x + 1) - (3x + 2) = 2x^2 - 1 \)
\( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (2x^2 + 3x + 1) \cdot (3x + 2) = 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2 \)
\( \left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{3x+2} \)

Ejemplo 3

Sean \( f(x) = \sqrt{x-1} \) y \( g(x) = x - 5 \).
Encuentra los dominios de \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) y \( \dfrac{f}{g} \).

Solución al Ejemplo 3

Primero necesitamos encontrar los dominios de las funciones \( f \) y \( g \).
El dominio \( D_f \) de \( f \) es el conjunto de valores de \( x \) que satisfacen la desigualdad: \( x-1 \ge 0 \) (el radicando debe ser positivo para que \( f(x) \) sea real).
Resuelve la desigualdad anterior para obtener \( x \ge 1 \) o en forma de intervalo \( D_f = [1 , +\infty) \)
El dominio \( D_g \) de \( g \) es el conjunto de todos los números reales o en forma de intervalo: \( D_g = ( -\infty , +\infty ) \)
La intersección de \( D_f \) y \( D_g \) se interpreta gráficamente a continuación.
dominio de operaciones con funciones, ejemplo 3
y está dada por
\( D_f \cap D_g = [1 , +\infty) \)
Los dominios de \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) son \( D_f \cap D_g = [1 , +\infty) \).
Para encontrar el dominio de \( \dfrac{f}{g} \), necesitamos la condición \( g(x) \ne 0 \) (división por cero no permitida), lo que da \( x \ne 5 \)
El dominio de \( \dfrac{f}{g} \) se da en notación de intervalo como
\( [1 , 5 ) \cup ( 5 , +\infty ) \)

Ejemplo 4

Sean \( f(x) = \sqrt{x+1} \) y \( g(x) = \sqrt{9-x^2} \).
Encuentra los dominios de \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) y \( \dfrac{f}{g} \).

Solución al Ejemplo 4

El dominio \( D_f \) de \( f \) es el conjunto solución de la desigualdad: \( x+1 \ge 0 \) (el radicando debe ser positivo)
El conjunto solución de la desigualdad anterior en forma de intervalo es \( D_f = [ - 1 , +\infty) \)
El dominio \( D_g \) de \( g \) es el conjunto solución de la desigualdad: \( 9-x^2 \ge 0 \) (el radicando debe ser positivo)
El conjunto solución de la desigualdad anterior en forma de intervalo es \( D_g = [ - 3 , + 3] \).
La intersección de \( D_f \) y \( D_g \) se muestra gráficamente a continuación.
dominio de operaciones con funciones, ejemplo 4
y está dada por
\( D_f \cap D_g = [ - 1 , + 3] \)
Los dominios de \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) son \( D_f \cap D_g = [ - 1 , + 3] \).
Para encontrar el dominio de \( \dfrac{f}{g} \), necesitamos la condición \( g(x) \ne 0 \) (división por cero no permitida), lo que da \( x \ne -3 \) y \( x \ne +3 \)
El dominio de \( \dfrac{f}{g} \) está dado por el intervalo
\( [ - 1 , 3 ) \)

Ejemplo 5

Sean \( f(x) = \dfrac{1-x}{x+2} \) y \( g(x) = \dfrac{x-1}{x+4} \).
Encuentra \( \dfrac{f}{g} \) y \( \dfrac{g}{f} \) y sus dominios.

Solución al Ejemplo 5

\( \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\dfrac{1-x}{x+2}}{\dfrac{x-1}{x+4}} = \left(\dfrac{1-x}{x+2}\right) \left( \dfrac{x+4}{x-1} \right) = - \left(\dfrac {x-1}{x+2}\right) \left( \dfrac{x+4}{x-1} \right) = - \dfrac{x+4}{x+2} \)

\( \left(\dfrac{g}{f}\right)(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)} = \dfrac{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}} = - \dfrac{x+2}{x+4} \)
El dominio \( D_f \) de la función \( f \) está dado por el intervalo: \( ( -\infty , -2) \cup (-2 , +\infty) \)
El dominio \( D_g \) de la función \( g \) está dado por el intervalo: \( ( -\infty , -4) \cup (-4 , +\infty) \)
La intersección de \( D_f \) y \( D_g \) está dada por
\( D_f \cap D_g = ( -\infty , -4) \cup (-4 , -2) \cup (-2 , +\infty) \)
y se muestra gráficamente a continuación
dominio de operaciones con funciones, ejemplo 5
El dominio de \( \dfrac{f}{g} \) es el intervalo \( ( -\infty , -4) \cup (-4 , -2) \cup (-2 , +\infty) \) tal que \( g(x) \ne 0 \) o \( x \ne 1 \)
que está dado por el intervalo \( ( -\infty , -4) \cup (-4 , -2) \cup (-2 , 1) \cup (1 , +\infty) \)

El dominio de \( \dfrac{g}{f} \) es el intervalo \( ( -\infty , -4) \cup (-4 , -2) \cup (-2 , +\infty) \) tal que \( f(x) \ne 0 \) o \( x \ne 1 \)
que está dado por el intervalo \( ( -\infty , -4) \cup (-4 , -2) \cup (-2 , 1) \cup (1 , +\infty) \)

Preguntas con Soluciones y Explicaciones sobre Operaciones con Funciones

Pregunta 1

Las funciones \( f \) y \( g \) están dadas por una tabla de valores.

\( x \)	\( f(x) \)	\( x \)	\( g(x) \)
-2	-4	-2	3
-1	10	-1	-4
0	7	1	9
1	0	2	-2
2	11	3	0

a) Evalúa, si es posible, lo siguiente:
\( (f - g)(-1) \), \( (g + f)(0) \), \( (f \cdot g)(2) \), \( (g \cdot f)(1) \), \( \left(\dfrac{g}{f}\right)(1) \), \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(1) \)
b) Encuentra los dominios de \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \), \( \dfrac{f}{g} \) y \( \dfrac{g}{f} \).

Pregunta 2

Sean \( f(x) = \sqrt{-x-5} \) y \( g(x) = |x - 7| \).
Evalúa \( (f + g)(0) \), \( (f - g)(-6) \), \( (f \cdot g)(-9) \) y \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(-30) \).

Pregunta 3

Sean \( f(x) = 2x + 14 \) y \( g(x) = x + 7 \).
Encuentra \( (f + g)(x) \), \( (f - g)(x) \), \( (f \cdot g)(x) \), \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) \), \( \left(\dfrac{g}{f}\right)(x) \) y sus dominios.

Pregunta 4

Sean \( f(x) = \dfrac{x-2}{x+3} \) y \( g(x) = \dfrac{x+5}{x - 1} \).
Encuentra los dominios de \( \dfrac{f}{g} \) y \( \dfrac{g}{f} \).

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Solución a la Pregunta 1

a)
\( (f - g)(-1) = f(-1) - g(-1) = 10 - (-4) = 14 \)
\( (g + f)(0) = g(0) + f(0) = \) no definido, porque \( g(0) \) no está definido
\( (f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = (11)(-2) = -22 \)
\( (g \cdot f)(1) = g(1) \cdot f(1) = (9)(0) = 0 \)
\( \left(\dfrac{g}{f}\right)(1) = \dfrac{g(1)}{f(1)} = \dfrac{9}{0} = \text{no definido} \)
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)(1) = \dfrac{f(1)}{g(1)} = \dfrac{0}{9} = 0 \)
b)
El dominio de \( f \) es el conjunto \( D_f = \{ -2 , -1 , 0 , 1 , 2 \} \) y el dominio de \( g \) es el conjunto \( D_g = \{ -2 , -1 , 1 , 2 , 3 \} \)
El dominio de \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) es la intersección de \( D_f \) y \( D_g \):
\( D_f \cap D_g = \{ -2 , -1 , 1 , 2 \} \)
El dominio de \( \dfrac{f}{g} \) es el conjunto \( D_f \cap D_g \) tal que \( g(x) \ne 0 \) o \( x \ne 3 \), pero \( 3 \) no está en el conjunto \( D_f \cap D_g \).
Por lo tanto, el dominio de \( \dfrac{f}{g} \) es \( \{ -2 , -1 , 1 , 2 \} \)
El dominio de \( \dfrac{g}{f} \) es el conjunto \( D_f \cap D_g \) tal que \( f(x) \ne 0 \) o \( x \ne 1 \), y \( 1 \) está en \( D_f \cap D_g \) y debe ser omitido.
Por lo tanto, el dominio de \( \dfrac{g}{f} \) es \( \{ -2 , -1 , 2 \} \)

Solución a la Pregunta 2

\( (f + g)(0) = f(0) + g(0) = \sqrt{-(0)-5} + |0 - 7| = \sqrt{-5} + |-7| \) no es real, debido al término \( \sqrt{-5} \)
\( (f - g)(-6) = \sqrt{-(-6)-5} - |(-6) - 7| = \sqrt{1} - |-13| = 1 - 13 = -12 \)
\( (f \cdot g)(-9) = \sqrt{-(-9)-5} \cdot |(-9) - 7| = \sqrt{4} \cdot |-16| = (2)(16) = 32 \)

\( \left(\dfrac{f}{g}\right)(-30) = \dfrac{\sqrt{-(-30)-5}}{|(-30) - 7|} = \dfrac{\sqrt{25}}{|-37|} = \dfrac{5}{37} \)

Solución a la Pregunta 3

\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 14 + x + 7 = 3x + 21 \)
\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (2x + 14) - (x + 7) = x + 7 \)
\( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (2x + 14)(x + 7) = 2x^2 + 28x + 98 \)
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{2x + 14}{x + 7} = \dfrac{2(x + 7)}{x + 7} = 2, \text{ para } x \ne -7 \)
\( \left(\dfrac{g}{f}\right)(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)} = \dfrac{x + 7}{2x + 14} = \dfrac{x + 7}{2(x + 7)} = \frac{1}{2}, \text{ para } x \ne -7 \)

El dominio \( D_f \) de la función \( f \) es: \( D_f = (-\infty, +\infty) \)
El dominio \( D_g \) de la función \( g \) es: \( D_g = (-\infty, +\infty) \)
La intersección de \( D_f \) y \( D_g \) es \( D = D_f \cap D_g = (-\infty, +\infty) \)
El dominio de \( f + g \), \( f - g \) y \( f \cdot g \) es \( D = (-\infty, +\infty) \)
El dominio de \( \left(\dfrac{f}{g}\right) \) es \( D = (-\infty, +\infty) \) tal que \( g(x) \ne 0 \) y \( x \ne -7 \), que es \( (-\infty, -7) \cup (-7, +\infty) \)
El dominio de \( \left(\dfrac{g}{f}\right) \) es \( D = (-\infty, +\infty) \) tal que \( f(x) \ne 0 \) y \( x \ne -7 \), que es \( (-\infty, -7) \cup (-7, +\infty) \)

Solución a la Pregunta 4

Sean \( f(x) = \dfrac{x-2}{x+3} \) y \( g(x) = \dfrac{x+5}{x - 1} \).
Encuentra los dominios de \( \dfrac{f}{g} \) y \( \dfrac{g}{f} \).
El dominio \( D_f \) de \( f \) es: \( D_f = (-\infty , -3) \cup (-3 , +\infty) \)
El dominio \( D_g \) de \( g \) es: \( D_g = (-\infty , 1) \cup (1 , +\infty) \)
La intersección \( D_f \cap D_g \) es \( D_f \cap D_g = (-\infty , -3) \cup (-3 , 1) \cup (1 , +\infty) \)
El dominio de \( \dfrac{f}{g} \) es el conjunto \( D_f \cap D_g \) tal que \( g(x) \ne 0 \) o \( x \ne -5 \), que es: \( (-\infty , -3) \cup (-3 , -5) \cup (-5 , 1) \cup (1 , +\infty) \)
El dominio de \( \dfrac{g}{f} \) es el conjunto \( D_f \cap D_g \) tal que \( f(x) \ne 0 \) o \( x \ne 2 \), que es: \( (-\infty , -3) \cup (-3 , 1) \cup (1 , 2) \cup (2 , +\infty) \)