Funciones Raíz Cuadrada

Definición y Gráfica de la Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número real no negativo \( x \) es un número \( y \) tal que \( x = y^2 \). Por ejemplo, \( 3 \) y \( - 3 \) son las raíces cuadradas de \( 9 \) porque \( 3^2 = 9 \) y \( (-3)^2 = 9 \).
De las dos raíces, la raíz no negativa de un número no negativo \( x \) se escribe como una función con la siguiente notación \[ f(x) = \sqrt x\] donde el símbolo \( \sqrt { \; } \) se llama radical y \( x \) se llama radicando y debe ser no negativo para que \( f(x) \) sea real.
La función raíz cuadrada definida anteriormente se evalúa para algunos valores no negativos de \( x \) en la siguiente tabla.

Propiedades de la Función Raíz Cuadrada

Algunas de las propiedades de la función raíz cuadrada pueden deducirse de su gráfica.

1. El dominio de la función raíz cuadrada \( f(x) = \sqrt x \) se da en forma de intervalo por: \( [0, + \infty) \).
2. El rango de la función raíz cuadrada \( f(x) = \sqrt x \) se da en forma de intervalo por: \( [0, + \infty) \).
3. Las intersecciones con los ejes x e y están ambas en \( (0,0) \).
4. La función raíz cuadrada es una función creciente.
5. La función raíz cuadrada es una función uno a uno y tiene una inversa.

Errores Comunes que Debes Evitar al Trabajar con Funciones Raíz Cuadrada

1. Es incorrecto escribir \( \sqrt{25} = \pm 5 \). El radicando es el símbolo de la función raíz cuadrada y una función tiene solo una salida que, como se definió anteriormente, es igual a la raíz positiva.
   Respuesta correcta: \( \sqrt{25} = 5 \).
2. Es incorrecto escribir \( \sqrt{x^2} = x \). La salida de la raíz cuadrada es no negativa y \( x \) en la expresión dada puede ser negativo, cero o positivo.
   Respuesta correcta: \( \sqrt{x^2} = |x| \).

Explorando Interactivamente la Función Raíz Cuadrada

Funciones raíz cuadrada de la forma general
\[ f(x) = a \sqrt{x - c} + d \] y las características de sus gráficas, como dominio, rango, intersección con el eje x, intersección con el eje y, se exploran interactivamente. Las ecuaciones de raíz cuadrada también se exploran gráficamente. Hay otro tutorial sobre graficación de funciones raíz cuadrada en este sitio.

La exploración se realiza cambiando los parámetros \( a, c \) y \( d \) incluidos en la expresión de la función raíz cuadrada definida anteriormente. Las Respuestas a las preguntas del tutorial están incluidas en esta página.
Haz clic en el botón "dibujar" y comienza a explorar.

1. Usa los deslizadores para establecer los parámetros \( a \) y \( c \) en algunos valores constantes y cambia \( d \). ¿Qué sucede con la gráfica cuando cambia el valor del parámetro \( d \)? Da una explicación analítica.
   
2. Usa los deslizadores para establecer los parámetros \( a \) y \( d \) en algunos valores constantes y cambia \( c \). ¿Qué sucede con la gráfica cuando cambia el valor del parámetro \( c \)? Da una explicación analítica.
   
3. Usa los deslizadores para establecer los parámetros \( c \) y \( d \) en algunos valores constantes y cambia el parámetro \( a \). ¿Qué sucede con la gráfica cuando cambia el valor del parámetro \( a \)? Da una explicación analítica.
   
4. Usa los deslizadores para establecer los parámetros \( a \), \( c \) y \( d \) en diferentes valores y determina qué parámetros afectan el dominio de la función raíz cuadrada \( f \) definida anteriormente. Encuentra el dominio analíticamente y compáralo con el dominio obtenido gráficamente.
   
5. Usa los deslizadores para establecer los parámetros \( a \), \( c \) y \( d \) en diferentes valores y determina qué parámetros afectan el rango de la función raíz cuadrada \( f \) definida anteriormente. Encuentra el rango analíticamente y compáralo con el rango obtenido gráficamente.
   
6. ¿Cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica de \( f \)?
   
7. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de la forma
   \[ a \sqrt{x - c} + d = 0 \]
   ? (parámetro \( a \) diferente de cero).
   Encuentra la solución a esta ecuación en términos de \( a \), \( c \) y \( d \) y compárala con la intersección con el eje x dada gráficamente.
   
8. Encuentra la intersección con el eje y analíticamente y compárala con la proporcionada por la aplicación.

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1. Los cambios en el parámetro \( d \) afectan las coordenadas y de todos los puntos en la gráfica, por lo tanto, la traslación o desplazamiento vertical. Cuando \( d \) aumenta, la gráfica se desplaza hacia arriba y cuando d disminuye, la gráfica se desplaza hacia abajo.
   
2. Cuando \( c \) aumenta, la gráfica se desplaza hacia la derecha y cuando \( c \) disminuye, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Esto también se llama desplazamiento horizontal.
   
3. El parámetro \( a \) es un factor multiplicativo para las coordenadas y de todos los puntos en la gráfica de la función \( f \). Sea \( a \) mayor que cero. Si \( a \) se vuelve mayor que 1, la gráfica se estira (o expande) verticalmente. Si \( a \) se vuelve menor que 1, la gráfica se encoge verticalmente. Si \( a \) cambia de signo, ocurre una reflexión de la gráfica sobre el eje x.
   
4. Solo el parámetro \( c \) afecta el dominio. El dominio de
   \( f(x) = a \sqrt{x - c} + d = 0 \)
   se puede encontrar resolviendo la desigualdad \( x - c \ge 0 \), por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los valores en el intervalo \( [c , + \infty) \).
   
5. Solo los parámetros \( a \) y \( d \) afectan el rango. El rango de la función \( f \) dada anteriormente se puede encontrar de la siguiente manera: Con x en el dominio definido por el intervalo \( [c , + \infty) \), la \( \sqrt{x - c} \) es siempre positiva o igual a cero, por lo tanto
   \( \sqrt{x - c} \ge 0 \)
   Si el parámetro \( a \) es positivo, entonces
   \( a \sqrt{x - c} \ge 0 \)
   Suma \( d \) a ambos lados para obtener
   \( a \sqrt{x - c} + d \ge d \)
   Por lo tanto, el rango de la función raíz cuadrada definida anteriormente es el conjunto de todos los valores en el intervalo \( [d , + \infty) \).
   Si el parámetro \( a \) es negativo, entonces
   \( a \sqrt{x - c} \le 0 \)
   Suma \( d \) a ambos lados para obtener
   \( a \sqrt{x - c} + d \le d \)
   Por lo tanto, el rango de la función raíz cuadrada definida anteriormente es el conjunto de todos los valores en el intervalo \( (- \infty , d] \).
   
6. Una solución o ninguna solución.
   
7. Resuelve la ecuación
   \( a \sqrt{x - c} + d = 0\)
   suma \( -d \) a ambos lados de la ecuación
   \( a \sqrt{x - c} = - d \)
   Si \( d \) es positivo, \( - d \) es negativo y la ecuación anterior no tiene solución. Si \( d \) es negativo, elevamos al cuadrado ambos lados y resolvemos para obtener
   \( x = (-d/a)^2 + c \)
   La ecuación anterior puede tener una solución o ninguna solución.
   
8. Si \( c \) es positivo, \( \sqrt{-c} \) no es un número real y, por lo tanto, la gráfica no tiene intersección con el eje y. Si \( c \) es negativo o igual a cero, entonces la intersección con el eje y está dada por
   \( y = a \sqrt{-c} + d \)

Más Referencias y Enlaces a Funciones Raíz Cuadrada