Simplificar Radicales
Preguntas con Soluciones para Grado 10

Se presentan preguntas de grado 10 sobre cómo simplificar expresiones radicales con soluciones.

Para simplificar expresiones radicales, debes conocer las siguientes reglas y propiedades de los radicales.

Ejemplos

2) La fórmula del producto (multiplicación) de radicales con índices iguales está dada por \[ \Large{\color{red}{ \left( \sqrt[n]{x} \right) \cdot \left( \sqrt[n]{y} \right) = \sqrt[n]{x \cdot y}} } \] Más ejemplos sobre cómo Multiplicar Expresiones Radicales. 3) La fórmula del cociente (división) de radicales con índices iguales está dada por \[ \Large{\color{red}{ \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} }} \]

Más ejemplos sobre cómo Dividir Expresiones Radicales.

4) Solo puedes sumar o restar radicales semejantes

Ejemplo

5) Puedes reescribir expresiones sin radicales (para racionalizar denominadores) de la siguiente manera

1. Ejemplo 1: \[ \color{red} { \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x } \]
2. Ejemplo 2:\[ \color{red} { \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x } \]
3. Ejemplo 3: \[ \color{red} { (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = (a)^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b } \]

Más ejemplos sobre cómo Racionalizar Denominadores de Expresiones Radicales.

Preguntas

1. \( \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} \)
2. \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} \)
3. \( \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} \)
4. \( \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} \)
5. \( \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} \)
6. \( \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} \)
7. \( \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}} \)

Respuestas a las preguntas anteriores

1. 
   Escribe 128 y 32 como productos de factores primos: \( 128 = 2^7, 32 = 2^5 \) por lo tanto \[ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 \]
2. 
   Usa la regla del producto para escribir } \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} \] \[ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \]
3. 
   Escribe 14 y 63 como productos de números primos \( 14 = 2 \times 7, 63 = 3^2 \times 7 \) y sustituye \[ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} \] \[ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} \] \[ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} \] \[ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 \]
4. 
   Escribe 32 y 16 como productos de números primos \( 32 = 2^5, 16 = 2^4 \) y sustituye} \[ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 \]
5. 
   Escribe 64 como productos de números primos \( 64 = 2^6 \) y sustituye} \[ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \] Racionaliza el denominador multiplicando numerador y denominador por \(\left(\sqrt[3]{7}\right)^2\) \[ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} \]
6. 
   Escribe 54 como productos de números primos \( 54 = 2 \times 3^3 \) y sustituye \[ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} \] \[ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} \]
7. 
   Multiplica el denominador y el numerador por el conjugado del denominador \[ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} = \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} \] Expande y simplifica \[ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} \] \[ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} \] \[ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} \] \[ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} \]

Más Preguntas con Respuestas

1. \(\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}\)
2. \((5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})\)
3. \((7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})\)
4. \(\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}\)
5. \((\sqrt{17x})(\sqrt{34x})\)
6. \(\sqrt{4y^2}\)
7. \(\sqrt{8y^4}\)
8. \(\sqrt{25+144}\)
9. \(\sqrt[2n]{x^{2n}}\), \(n\) un entero positivo
10. \((\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})\)
11. \(\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}\)
12. \(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}\)

Soluciones a las preguntas anteriores

1. \(\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = 5\sqrt[3]{25}\)
2. \((5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16}) = -15\sqrt[3]{1024} = -15\sqrt[3]{64 \cdot 16} = -15 \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{16} = -60\sqrt[3]{16}\)
3. \((7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28\)
4. \(\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3}\)
5. \((\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2}\)
6. \(\sqrt{4y^2} = 2|y|\)
7. \(\sqrt{8y^4} = 2y^2\sqrt{2}\)
8. \(\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13\)
9. \(\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|\)
10. \((\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2)\)
11. \(\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \dfrac{3ab\sqrt[3]{b^2}}{2a^2b\sqrt[3]{1}} = \dfrac{3b}{2a} \)
12. \(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{x - (x-2)} = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} = x - 1 - \sqrt{x(x-2)}\)

Enlaces y Referencias

• Matemáticas de Escuela Secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratis con Respuestas
• Matemáticas de Escuela Media (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratis con Respuestas
• Matemáticas Primarias (Grados 4 y 5) con Preguntas y Problemas Gratis Con Respuestas
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