A continuación se presentan preguntas de grado 10 sobre cómo simplificar expresiones radicales. Revisa las reglas y propiedades de los radicales, intenta resolver los problemas de práctica y haz clic en las flechas para ver las soluciones paso a paso.
Para simplificar expresiones radicales, necesitas conocer las siguientes reglas y propiedades de los radicales.
A) $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ si $n$ es par
B) $\sqrt[n]{x^n} = x$ si $n$ es impar
Ejemplos:
Más ejemplos en Raíces de Números Reales y Radicales.
La fórmula del producto para radicales con índices iguales está dada por:
Más ejemplos sobre cómo Multiplicar Expresiones Radicales.
La fórmula de la división para radicales con índices iguales está dada por:
Más ejemplos sobre cómo Dividir Expresiones Radicales.
Solo puedes sumar o restar radicales semejantes.
Ejemplo:
Más ejemplos sobre cómo Sumar Expresiones Radicales.
Puedes reescribir expresiones sin radicales en el denominador (racionalización) usando identidades como:
Más ejemplos sobre cómo Racionalizar Denominadores de Expresiones Radicales.
Racionaliza y simplifica las expresiones dadas:
Simplifica: $\sqrt{128} \cdot \sqrt{32}$
Escribe 128 y 32 como productos de factores primos: $128 = 2^7$, $32 = 2^5$.
$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$
$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$
Simplifica: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12}$
Usa la regla del producto para escribir $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$.
$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$
$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$
$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
Simplifica: $\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}}$
Escribe 14 y 63 como productos de números primos ($14 = 2 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$) y sustituye:
$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$
Simplifica: $\sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16}$
Escribe 32 y 16 como productos de números primos ($32 = 2^5$, $16 = 2^4$) y sustituye:
$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$
$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Simplifica: $\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}$
Escribe 64 como producto de números primos ($64 = 2^6$) y sustituye:
$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$
Racionaliza el denominador multiplicando el numerador y el denominador por $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$:
$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$
Simplifica: $\dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}}$
Escribe 54 como producto de números primos ($54 = 2 \times 3^3$) y sustituye:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$
Simplifica: $\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
Multiplica el denominador y el numerador por el conjugado del denominador, $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$:
$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$
Expande y simplifica:
$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$
$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x(x+1)}}{x - (x + 1)} $$
$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$
$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$
Usa todas las reglas y propiedades de los radicales para racionalizar y simplificar las siguientes expresiones.
Simplifica: $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}$
$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$
Simplifica: $(5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})$
Primero, simplifica las raíces cúbicas conocidas ($\sqrt[3]{64} = 4$):
$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$
Simplifica $\sqrt[3]{16}$ como $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$:
$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$
Simplifica: $(7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})$
$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$
$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$
Simplifica: $\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}$
Convierte el número mixto a una fracción impropia:
$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$
Simplifica: $(\sqrt{17x})(\sqrt{34x})$
$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$
$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$
(Asumiendo $x \ge 0$ como se requiere en la expresión original).
Simplifica: $\sqrt{4y^2}$
$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$
Simplifica: $\sqrt{8y^4}$
$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$
Simplifica: $\sqrt{25+144}$
$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$
Simplifica: $\sqrt[2n]{x^{2n}}$, donde $n$ es un entero positivo
Debido a que $2n$ representa un índice par:
$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$
Simplifica: $(\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})$
$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$
Simplifica: $\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}$
Combina usando la regla del cociente para radicales:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$
Simplifica la fracción dentro del radical:
$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$
Extrae los cubos perfectos:
$$ = \dfrac{3b}{2a} $$
Simplifica: $\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$:
$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$
Expande el numerador y simplifica el denominador:
$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$
$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$
Divide todos los términos en el numerador entre 2:
$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$