Concepto central
La función $y = \sqrt{x}$ existe solo cuando $x \ge 0$. Como se muestra en el gráfico a continuación, no existen valores reales para la función cuando $x$ es negativo.
Guía paso a paso, interpretaciones gráficas y ejemplos resueltos
El dominio de una función de raíz cuadrada $f(x) = \sqrt{g(x)}$ es el conjunto de todos los valores reales de $x$ para los cuales la expresión $g(x)$ no es negativa ($g(x) \ge 0$). Esto asegura que el resultado sea un número real.
La función $y = \sqrt{x}$ existe solo cuando $x \ge 0$. Como se muestra en el gráfico a continuación, no existen valores reales para la función cuando $x$ es negativo.
Encuentre el dominio de la función: \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
La función toma valores reales si la cantidad bajo el radical satisface la condición:
\[ x - 2 \ge 0 \]Resolver la desigualdad da:
\[ x \ge 2 \]Comprobación gráfica: El gráfico "existe" solo para valores de $x$ mayores o iguales a 2.
Encuentre el dominio de la función: \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
La condición para obtener valores reales es:
\[ |x - 1| \ge 0 \]Debido a que una expresión de valor absoluto es siempre mayor o igual a cero para todos los números reales, la condición se satisface para cualquier $x$.
Dominio: Todos los números reales $\mathbb{R}$, o $(-\infty, \infty)$.
Encuentre el dominio de la función: \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
Dado que la división por cero no está permitida, el radicando debe ser estrictamente positivo:
\[ x + 3 > 0 \]Al resolver se obtiene:
\[ x > -3 \]Comprobación gráfica: El gráfico comienza justo después de $x = -3$ y se extiende hacia la derecha.
Encuentre el dominio de la función: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
Dos condiciones deben cumplirse simultáneamente:
El dominio es la intersección de estos conjuntos:
\[ x > 2 \]
Encuentre el dominio de la función: \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
Condición: \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
Los puntos críticos son $x = -4$ y $x = 2$. Probando los intervalos:
Dominio: $(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$. (Nota: $x=2$ se excluye debido al denominador).
Encuentre el dominio de la función: \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
Condición: \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
Dado que $x^2 + 4$ es siempre al menos 4 para cualquier $x$ real, nunca puede ser menor o igual a 0.
Dominio: Conjunto vacío (no hay soluciones reales).
Encuentre el dominio de: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
Condiciones:
Intersección: $2 < x \le 6$. En notación de intervalo: $(2, 6]$.
Encuentre el dominio de: \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
Condición: \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
Esta desigualdad se cumple cuando $x$ está fuera de las raíces $-2$ y $2$.
Dominio: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Encuentre el dominio de: \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
Condición: \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
Esta desigualdad se cumple cuando $x$ está entre las raíces $-2$ y $2$.
Dominio: $[-2, 2]$.
