Factorizar un polinomio es escribirlo como el producto de polinomios más simples. ¿Cómo factorizar un polinomio usando un factor común? Se presentan preguntas junto con soluciones detalladas y se incluyen explicaciones.
Es un método de factorización basado en la ley de distributividad que es
\[
\Large{\color{red} {a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c}}
\]
y se usa en sentido inverso de la siguiente manera
\[
\Large{\color{red} { a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) }}
\]
\( a \) es un factor común de \( a \cdot b \) y \( a \cdot c \) y por lo tanto se factoriza.
\( 3x^2 - x = 3x \cdot \textcolor{red}{x} - 1 \cdot \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{x}(3x - 1) \quad \) El factor común es \(x\).
NOTA: Es muy fácil verificar si tu factorización es correcta expandiendo la forma factorizada para ver si obtienes el polinomio original.
Ejemplo: Verifica que \( 3x^2 - x = x(3x - 1) \) expandiendo \( x(3x - 1) \quad \) usando la propiedad distributiva:
\( x(3x - 1) = x \cdot 3x + x \cdot (-1) = 3x^2 - x \quad \), lo cual coincide con la expresión original.
a) \( 9x - 6 \)
b) \( x^2 - x \)
c) \( 3x + 12xy \)
d) \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
e) \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
a)
Encuentra cualquier factor común en los dos términos de la expresión binomial \( 9x - 6 \) expresando ambos términos \( 9x \) y \( 6 \) como factorizaciones primas.
Usando factorización prima: \[ 9x - 6 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \]El máximo factor común (MFC) es \( \color{red}{3} \) Lo factorizamos de la expresión. \[ 9x - 6 = \color{red}{3}(3x - 2) \] Esta es la forma factorizada simplificada del binomio usando su máximo factor común.
b)
Se necesita la factorización prima de \( x^2 \) y \( x \) para encontrar el máximo factor común en \( x^2 - x \). \[ x^2 - x = \color{red}{x} \cdot x - \color{red}{x} = \color{red}{x} \cdot x - 1 \cdot \color{red}{x} \] El máximo factor común es \( x \), y por lo tanto se factoriza. Por lo tanto, \[ x^2 - x = \color{red}{x}(x - 1) \]c)
Para factorizar la expresión \( 3x + 12xy \), comenzamos encontrando las factorizaciones primas de los términos individuales.
El término \( 3x \) se factoriza en \( 3 \cdot x \), y el término \( 12xy \) se factoriza en \( 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y \).
Así que podemos reescribir la expresión como: \[ 3x + 12xy = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y \] Observamos que ambos términos tienen un factor común de \( \color{red} {3x} \). Factorizando \( 3x \), obtenemos: \[ 3x + 12xy = {\color{red}{3x}} (1 + 4y) \] Por lo tanto, el máximo factor común es \( 3x \), y la forma factorizada de la expresión es \( 3x(1 + 4y) \).
d)
Para encontrar el máximo factor común (MFC) de la expresión \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \), primero determinamos la factorización prima de cada término:
El máximo factor común (MFC) entre estos términos es: \( 2 \cdot 2 \cdot x = 4x \)
Ahora factorizamos el MFC de la expresión: \[ 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 = \] \[ 4x \left( 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x + 2 \cdot x \cdot y + y \cdot y \right) \] \[ = 4x \left( 4x^2 + 2xy + y^2 \right) \]
e)
Notamos que \(x + 5\) es un factor común que se puede factorizar de la siguiente manera:
\[ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) = (x + 5)(2x^4 + x^2) \]Ahora encontramos el máximo factor común (MFC) de los términos \(2x^4\) y \(x^2\), y lo factorizamos:
\[ 2x^4 + x^2 = 2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x + x \cdot x = x^2(2x^2 + 1) \]La factorización completa de la expresión \(2x^4(x + 5) + x^2(x + 5)\) es:
\[ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) = x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \]
Usa factores comunes para factorizar completamente los siguientes polinomios:
a) \( -3x + 9 \)
b) \( 28x + 2x^2 \)
c) \( 11xy + 55x^2y \)
d) \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \)
e) \( 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \)
a)
Encuentra cualquier factor común en los dos términos de \( -3x + 9 \) expresando ambos términos \( 3x \) y \( 9 \) en el binomio dado como factorización prima.
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \] El máximo factor común es \( \color{red}{3} \) y se factoriza. Por lo tanto \[ -3x + 9 = \color{red}{3}(-x + 3) = -3(x - 3) \]
b)
Escribe la factorización prima de cada uno de los términos en el polinomio dado \( 28x + 2x^2 \).
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \] El máximo factor común es \( \color{red}{2x} \) y se factoriza. Por lo tanto \[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2x}(14 + x) \]
c)
Escribe la factorización prima de cada uno de los términos en el polinomio dado \( 11xy + 55x^2y \).
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot x \cdot y + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y} \] El máximo factor común es \( \color{red}{11xy} \) y se factoriza. Por lo tanto, \[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]
d)
Escribe la factorización prima de cada uno de los términos en el polinomio dado \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \).
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = 2 \cdot 2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + \color{red}{5} \cdot 7 \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} - 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \] El máximo factor común es \( \color{red}{5xy} \) y se factoriza. Por lo tanto \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]
e)
Comenzamos factorizando el factor común \( (x + 1) \) en el polinomio dado.
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \] Ahora factorizamos el polinomio \( 5y + 10y^2 - 15xy \) usando el MFC de los tres términos. \[ 5y + 10y^2 - 15xy = {5 \cdot y} + 2 \cdot {5 \cdot y} \cdot y - 3 \cdot {5 \cdot y} \cdot x = \color{red}{5 \cdot y}(1 + 2y - 3xy) \] El polinomio dado puede factorizarse de la siguiente manera. \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = \color{red} {5y(x + 1)(1 + 2y - 3x)} \]