Tutorial completo con soluciones paso a paso
Factorizar un polinomio significa escribirlo como un producto de polinomios más simples. Esta es una habilidad fundamental en álgebra utilizada para resolver ecuaciones y simplificar expresiones complejas.
La factorización por factor común se basa en usar la Ley Distributiva a la inversa:
Distribución estándar:
\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]Inversa (Factorización):
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]En este método, identificamos un factor $a$ que es común a todos los términos y lo movemos fuera de los paréntesis.
Nota: Para verificar su factorización, simplemente expanda el resultado para ver si vuelve al polinomio original.
Identifique el Máximo Común Divisor (MCD) y factorice completamente los siguientes polinomios.
Ejemplo A: \( 9x - 6 \)
Solución: Use la factorización en números primos para encontrar factores comunes: \( \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \). El MCD es 3. Resultado: \( 3(3x - 2) \).
Ejemplo B: \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
Solución: El MCD de los coeficientes (16, 8, 4) es 4. La variable compartida es $x$. El MCD es $4x$. Resultado: \( 4x(4x^2 + 2xy + y^2) \).
Ejemplo C: \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
Solución: Note que $(x + 5)$ es un factor binomial común. Factorícelo primero: \( (x + 5)(2x^4 + x^2) \). Luego, factorice $x^2$ de la parte restante. Resultado: \( x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \).
Use factores comunes para factorizar completamente los siguientes polinomios. Cada pregunta incluye una solución detallada.
Pregunta 1: Factorice \[ -3x + 9 \]
Exprese ambos términos usando factorización en números primos:
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]El máximo común divisor es \( \color{red}{3} \). Al factorizarlo, obtenemos:
\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]Para tener un término principal positivo dentro de los paréntesis, podemos factorizar $-3$:
\[ = -3(x - 3) \]Pregunta 2: Factorice \[ 28x + 2x^2 \]
Identifique los factores comunes mediante factorización en números primos:
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]El máximo común divisor es \( \color{red}{2x} \):
\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ o } 2x(x + 14) \]Pregunta 3: Factorice \[ 11xy + 55x^2y \]
Escriba la factorización en números primos de cada término:
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]El máximo común divisor es \( \color{red}{11xy} \):
\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]Pregunta 4: Factorice \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]
Determine el MCD analizando los tres términos:
\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \] \[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \] \[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]El máximo común divisor es \( \color{red}{5xy} \):
\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]Pregunta 5: Factorice \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]
1. Primero, factorice el factor binomial común \( (x + 1) \):
\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]2. Ahora, identifique el MCD para los términos restantes dentro del segundo paréntesis ($5y, 10y^2, -15xy$). El MCD es \( \color{red}{5y} \):
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]3. Combine ambos pasos para obtener la forma factorizada final:
\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]