¿Cómo factorizar un polinomio por agrupación? Se presentan preguntas con soluciones y explicaciones detalladas.
Factoriza completamente el polinomio \[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 \]
Observa que los cuatro términos del polinomio dado no tienen un factor común. Sin embargo, agrupando los dos primeros términos, podemos factorizar \( \color{red} {4x} \) de la siguiente manera:
\[ 4x^2 + 4x = 4x(x + 1) \]Ahora agrupamos los dos últimos términos y factorizamos \( \color{red} 3 \) así:
\[ 3x + 3 = 3(x + 1) \]Reescribe el polinomio dado con los términos agrupados en forma factorizada:
\[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 = 4x\, {(x + 1)} + 3\, {(x + 1)} \]Nota que \( \color{red} {(x + 1)} \) es un factor común que se puede factorizar así:
\[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 = 4x\, {(x + 1)} + 3\, {(x + 1)} = (x + 1)(4x + 3) \]Factoriza el polinomio \[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y \]
No hay un factor común para los cuatro términos del polinomio dado.
Agrupa los dos primeros términos y factoriza \( 2x \):
\[ 2x^2 - 4x = 2x(x - 2) \]Agrupa los dos últimos términos y factoriza \( 3y \):
\[ 3xy - 6y = 3y(x - 2) \]Reescribe el polinomio dado así:
\[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y = 2x\, {(x - 2)} + 3y\,{(x - 2)} \]Factoriza \( x - 2 \) y reescribe el polinomio dado en forma factorizada:
\[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y = (x -2) (2x + 3y) \]
Los términos del polinomio dado no tienen un factor común.
Los dos primeros términos se pueden agrupar y factorizar así, factorizando \( x \):
\[ xy - x = x(y - 1) \]Los dos últimos términos se pueden factorizar sacando \( 2 \):
\[ -2y + 2 = 2(-y + 1) = -2(y - 1) \]Reescribe el polinomio dado en forma factorizada:
\[ xy - x - 2y + 2 = x\,\color{red}{(y - 1)} - 2\,\color{red}{(y - 1)} \]Factoriza el factor común \( \color{red}{(y - 1)} \) para factorizar completamente:
\[ xy - x - 2y + 2 = (y - 1)(x - 2) \]
Factoriza completamente el polinomio \[ 3x^2 + 4x + 1 \]
No hay un factor común para los términos del polinomio dado. Una forma es reescribir el polinomio con cuatro términos que puedan factorizarse por agrupación.
Usamos la identidad \( 4x = 3x + x \) para reescribir el polinomio dado así:
\[ 3x^2 + 4x + 1 = 3x^2 + 3x + x + 1 \]Agrupamos los dos primeros términos y factorizamos \( 3x \) así:
\[ 3x^2 + 3x = 3x(x + 1) \]Reescribe el polinomio dado con los términos agrupados en forma factorizada:
\[ 3x^2 + 4x + 1 = 3x(x + 1) + 1(x + 1) \]Nota que \( \color{red}{(x + 1)} \) es un factor común que se puede factorizar así:
\[ 3x^2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) \]Usa la agrupación para factorizar completamente los siguientes polinomios
Primero encontramos un factor común en \( 2x^2 - 4x \) y lo factorizamos:
\[ 2x^2 - 4x = 2x(x - 2) \]Luego, encontramos un factor común en \( xy - 2y \) y lo factorizamos:
\[ xy - 2y = y(x - 2) \]Ahora usa el factor común \( (x - 2) \) y factoriza el polinomio dado:
\[ 2x^2 - 4x + xy - 2y = (2x^2 - 4x) + (xy - 2y) \] \[ = 2x(x - 2) + y(x - 2) \] \[ = (x - 2)(2x + y) \]Encuentra un factor común en \( x^2 + 3x \) y factorízalo:
\[ x^2 + 3x = x(x + 3) \]Luego, encuentra un factor común en \( -2x - 6 \) y factorízalo:
\[ -2x - 6 = -2(x + 3) \]Usa el factor común \( (x + 3) \) para factorizar el polinomio dado:
\[ x^2 + 3x - 2x - 6 = (x^2 + 3x) + (-2x - 6) \] \[ = x(x + 3) - 2(x + 3) \] \[ = (x + 3)(x - 2) \]La gráfica del polinomio en la parte b),
\[ y = x^2 + 3x - 2x - 6 \]se muestra abajo. Los valores \( x = -3 \) y \( x = 2 \) hacen que los factores \( (x + 3) \) y \( (x - 2) \) sean iguales a cero, respectivamente. Por lo tanto, \( x = -3 \) y \( x = 2 \) son las intersecciones con el eje x de la gráfica del polinomio.
Conclusión: Una forma de verificar nuestra factorización es graficar el polinomio dado y comprobar que las intersecciones con el eje x corresponden a los ceros de los factores incluidos en la factorización.
Encuentra un factor común en \( 15x^2 - 3x \) y factorízalo:
\[ 15x^2 - 3x = 3x(5x - 1) \]Luego, encuentra un factor común en \( 10x - 2 \) y factorízalo:
\[ 10x - 2 = 2(5x - 1) \]Usa el factor común \( (5x - 1) \) para factorizar completamente el polinomio dado:
\[ 15x^2 - 3x + 10x - 2 = (15x^2 - 3x) + (10x - 2) \] \[ = 3x(5x - 1) + 2(5x - 1) \] \[ = (5x - 1)(3x + 2) \]El polinomio dado tiene tres términos sin factor común. Una forma de factorizar es reescribirlo reemplazando \( x \) con \( 4x - 3x \) así:
\[ 4x^2 + x - 3 = 4x^2 + 4x - 3x - 3 \]Ahora podemos factorizar \( 4x^2 + 4x \):
\[ 4x^2 + 4x = 4x(x + 1) \]Luego, factoriza \( -3x - 3 \):
\[ -3x - 3 = -3(x + 1) \]Usa el factor común \( (x + 1) \) para factorizar completamente el polinomio dado:
\[ 4x^2 + x - 3 = 4x^2 + 4x - 3x - 3 = (4x^2 + 4x) + (-3x - 3) \] \[ = 4x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(4x - 3) \]Nota que \( x \) es un factor común para todos los términos del polinomio dado. Por lo tanto, comenzamos factorizando así:
\[ x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy = x(xy + 3 + xy^2 + 3y) \]Reescribe agrupando términos:
\[ x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy = x((xy + xy^2) + (3 + 3y)) \]Los términos en \( (xy + xy^2) \) tienen el factor \( xy \), y los términos en \( (3 + 3y) \) tienen el factor común \( 3 \). Por lo tanto, factorizamos así:
\[ x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy = x((xy + xy^2) + (3 + 3y)) \] \[ = x(xy(1 + y) + 3(1 + y)) = x(1 + y)(xy + 3) \]Nota que hay 5 términos en el polinomio dado sin un factor común para todos ellos. Reescribe el polinomio reemplazando \( -x \) con \( -3x + 2x \) así:
\[ 3x^2 + 3xy - x + 2y - 2 = 3x^2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2 \]Ahora factorizaremos el polinomio equivalente \( 3x^2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2 \). Podemos agrupar los primeros 3 términos y factorizar:
\[ 3x^2 + 3xy - 3x = 3x(x + y - 1) \]Ahora agrupamos los últimos tres términos y factorizamos:
\[ 2x + 2y - 2 = 2(x + y - 1) \]Los dos grupos tienen el factor común \( (x + y - 1) \), y el polinomio dado se factoriza así:
\[ = (3x^2 + 3xy - 3x) + (2x + 2y - 2) \] \[ = 3x(x + y - 1) + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)(3x + 2) \]