Factorizar polinomios por agrupación Preguntas con soluciones
¿Cómo factorizar un polinomio por agrupación? Se presentan preguntas con soluciones y explicaciones detalladas.
Questions with Solutions
Pregunta 1
Factoriza completamente el polinomio 4 x 2 + 4 x + 3 x + 3
Solución a la Pregunta 1
Tenga en cuenta que los cuatro términos en el polinomio dado no tienen factor común.
Sin embargo, al agrupar los dos primeros términos, podemos factorizar 4 x de la siguiente manera: 4 x 2 + 4 x = 4 x (x + 1 )
Ahora agrupamos los dos últimos términos y factorizamos 3 de la siguiente manera: 3 x + 3 = 3 ( x + 1)
Reescribe el polinomio dado con los términos agrupados en forma factorizada.
4 x 2 + 4 x + 3 x + 3 = 4 x (x + 1) + 3 (x + 1)
Tenga en cuenta que ( x + 1) es un factor común que se puede factorizar de la siguiente manera:
4 x 2 + 4 x + 3 x + 3 = 4 x (x + 1) + 3 ( x + 1) = (x + 1)(4x + 3)
Pregunta 2
Factoriza el polinomio 2 x 2 - 4 x + 3 x y - 6 y
Solución a la Pregunta 2
No hay factor común para los 4 términos en el polinomio dado.
Agrupa los dos primeros términos y factoriza 2 x: 2 x 2 - 4 x = 2 x ( x - 2)
Agrupa los dos últimos términos y factoriza 3 y: 3 x y - 6 y = 3 y( x - 2)
Reescribe el polinomio dado de la siguiente manera
2 x 2 - 4x + 3 x y + 3 y = 2 x (x - 2) + 3 y(x - 2)
y factorice el factor común (x - 2).
2 x 2 + 2 x + 3 x y + 3 y = 2 x ( x - 2) + 3 y( x - 2) = (x - 2)(2 x + 3 y )
Pregunta 3
Factoriza el polinomio x y - x - 2 y + 2
Solución a la Pregunta 3
Los términos del polinomio dado no tienen factor común.
Los dos primeros términos se pueden agrupar y factorizar de la siguiente manera: x out: x y - x = x ( y - 1)
Los últimos dos términos pueden factorizarse como: 2 out: - 2 y + 2 = 2( - y + 1) = - 2(y - 1)
Reescribe el polinomio dado en forma factorizada de la siguiente manera:
x y - x - 2 y + 2 = x (y - 1) - 2 (y - 1)
Factorizar el factor común (y - 1) para factorizar completamente
x y - x - 2 y + 2 = (y - 1) - 2 (y - 1) = ( y-1)(x-2)
Pregunta 4
Factoriza completamente el polinomio 3 x 2 + 4 x + 1
Solución a la Pregunta 4
No hay factor común a los términos en el polinomio dado. Una forma es reescribir el polinomio con 4 términos que pueden ser factorizados por agrupación.
Usamos la identidad 4 x = 3 x + x para reescribir el polinomio dado de la siguiente manera:
3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x 2 + 3 x + x + 1
Agrupamos los primeros dos términos y factorizamos 3 x de la siguiente manera: 3 x 2 + 3 x = 3 x (x + 1)
Reescribe el polinomio dado con los términos agrupados en forma factorizada.
3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x 2 + 3 x + x + 1 = 3 x (x + 1) + 1( x + 1)
Tenga en cuenta que ( x + 1) es un factor común que se puede factorizar de la siguiente manera:
3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x (x + 1) + 1( x + 1) = (x + 1)(3x + 1)
Más preguntas sobre la factorización de polinomios
Usa la agrupación para factorizar completamente los siguientes polinomios
a) 2 x 2- 4 x + x y - 2 y
b) x 2 + 3 x - 2 x - 6
c) 15 x 2 - 3 x + 10 x - 2
d) 4 x 2 + x - 3
e) x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y
f) 3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2
Soluciones a las preguntas anteriores
Solución a la pregunta a)
Primero encontramos un factor común en 2 x 2 - 4 y lo factorizamos de la siguiente manera:
2 x 2 - 4 x = 2 x (x - 2)
Luego encontramos un factor común en x y - 2 y y lo factorizamos de la siguiente manera:
x y - 2 y = y (x - 2)
Usa el factor común (x - 2) y factoriza el polinomio dado de la siguiente manera:
2 x 2 - 4 x + x y - 2 y = ( 2 x 2 - 4 x ) + (x y - 2 y)
= 2 x (x - 2) + y (x - 2)
= (x - 2)(2x + y)
Solución a la pregunta b)
Encuentra un factor común en x 2 + 3 x y factorízalo de la siguiente manera:
x 2 + 3 x = x (x + 3)
Luego encontramos un factor común en el - 2 x - 6 y lo factorizamos de la siguiente manera:
- 2 x - 6 = - 2 (x + 3)
Usa el factor común (x + 3) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
x 2 + 3 x - 2 x - 6 = ( x 2 + 3 x ) + (- 2 x - 6)
= x (x + 3) - 2 (x + 3) = (x + 3)(x - 2)
Interpretación gráfica de la factorización de un polinomio en una variable
La gráfica del polinomio dado en b) arriba y = x 2 + 3 x - 2 x - 6 se muestra a continuación. x = - 3 hace que el factor (x + 3) sea igual a cero y x = 2 hace que el factor x - 2 igual a cero. Tanto x = -3 como x = 2 aparecen como intersecciones x en el gráfico del polinomio dado.
Figura 1. Gráfica del polinomio x^2 + 3x - 2x - 6. Conclusión: Una forma de verificar nuestra factorización es graficar el polinomio dado y verificar que las intersecciones de x correspondan a los ceros de los factores incluidos en la factorización.
Solución a la pregunta c)
Encuentra un factor común en 15 x 2 - 3 x y factorízalo de la siguiente manera:
15 x 2 - 3 x = 3 x (5 x - 1)
Luego encontramos un factor común en el 10 x - 2 y lo factorizamos de la siguiente manera:
10 x - 2 = 2 (5 x - 1)
Usa el factor común (5 x - 1) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
15 x 2 - 3 x + 10 x - 2 = ( 15 x 2 - 3 x ) + (10 x - 2)
= 3 x (5 x - 1) + 2 (5 x - 1) = (5 x - 1)(3 x + 2)
Solución a la Pregunta d)
El polinomio dado tiene tres términos sin factor común. Una forma de factorizar es reescribirlo reemplazando x por 4 x - 3 x de la siguiente manera:
4 x 2 + x - 3 = 4 x 2 + 4 x - 3 x - 3
Ahora podemos factorizar 4 x 2 + 4 x de la siguiente manera:
4 x 2 + 4 x = 4 x (x + 1)
Luego factorizamos - 3 x - 3 de la siguiente manera:
- 3 x - 3 = - 3 (x + 1)
Usa el factor común (x + 1) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
4 x 2 + x - 3 = 4 x 2 + 4 x - 3 x - 3 = (4 x 2 + 4 x) + (- 3 x - 3)
= 4 x (x + 1) - 3 (x + 1) = (x + 1)(4 x - 3)
Solución a la pregunta e)
Tenga en cuenta que x es un factor común a todos los términos en el polinomio dado. Por lo tanto, comenzamos factorizando de la siguiente manera:
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( x y + 3 + x y 2 + 3 y)
Reescribe agrupando los términos de la siguiente manera
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( (x y + x y 2) + (3 + 3 y) )
Los términos en (x y + x y 2) tiene el factor x y y los términos en (3 + 3 y) tiene el factor común 3. Por lo tanto, factorizamos de la siguiente manera
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( (x y + x y 2) + (3 + 3 y) )
= x( x y (1 + y) + 3 (1 + y) ) = x (1 + y)( x y + 3)
Solución a la pregunta f)
Tenga en cuenta que hay 5 términos en el polinomio dado con factor común a todos ellos. Reescribe el polinomio reemplazando - x por - 3 x + 2 x como sigue.
3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2 = 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2
Ahora factorizaremos el polinomio equivalente 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2. Ahora podemos agrupar los primeros 3 términos y factorizar de la siguiente manera:
3 x 2 + 3 x y - 3 x = 3 x (x + y - 1)
Ahora agrupamos los últimos tres términos y factorizamos de la siguiente manera
2 x + 2 y - 2 = 2 (x + y - 1 )
Los dos grupos tienen el factor común (x + y - 1) y el polinomio dado se factoriza de la siguiente manera:
3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2 = 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2
= (3 x 2 + 3 x y - 3 x) + (2 x + 2 y - 2)
= 3x ( x + y - 1) + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)(3x + 2)
